数学2 三角関数･最大最小問題 11 解説

方針・初手

$\sin x + \cos x = t$ とおく、三角関数の対称式の典型問題である。
三角関数の合成を用いて $t$ のとりうる値の範囲を正確に求める。
$\sin x \cos x$ や $\sin^3 x + \cos^3 x$ を $t$ の式で表し、$f(x)$ を $t$ の3次関数に帰着させる。
求めた $t$ の変域において、微分を用いて3次関数の増減を調べ、最大値と最小値を求める。

解法1

(1)

三角関数の合成を用いると、

$$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$$

と変形できる。ここで、$0 \leqq x \leqq \pi$ であるから、

$$\frac{\pi}{4} \leqq x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{5}{4}\pi$$

である。この範囲において、$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ のとりうる値の範囲は

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leqq 1$$

となる。各辺に $\sqrt{2}$ を掛けて、

$$-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$$

(2)

$t = \sin x + \cos x$ の両辺を2乗すると、

$$t^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x$$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ であるから、

$$t^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$$

よって、これを $\sin x \cos x$ について解くと、

$$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$$

(3)

因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いて $\cos^3 x + \sin^3 x$ を変形する。

$$\cos^3 x + \sin^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)$$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ と、(2) の結果を代入すると、

$$\cos^3 x + \sin^3 x = t \left( 1 - \frac{t^2 - 1}{2} \right) = t \cdot \frac{3 - t^2}{2}$$

これらを $f(x)$ の式に代入すると、

$$f(x) = 2 \cdot \frac{t(3 - t^2)}{2} + 8 \cdot \frac{t^2 - 1}{2}$$

$$f(x) = t(3 - t^2) + 4(t^2 - 1)$$

$$f(x) = -t^3 + 4t^2 + 3t - 4$$

(4)

$f(x)$ を $t$ の関数とみて、$g(t) = -t^3 + 4t^2 + 3t - 4$ とおく。 (1) より、定義域は $-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$ である。 $g(t)$ を $t$ について微分すると、

$$g'(t) = -3t^2 + 8t + 3 = -(3t^2 - 8t - 3) = -(3t + 1)(t - 3)$$

$g'(t) = 0$ となる $t$ の値は、

$$t = -\frac{1}{3}, \ 3$$

定義域 $-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$ における $g(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$-1$	$\cdots$	$-\frac{1}{3}$	$\cdots$	$\sqrt{2}$
$g'(t)$		$-$	$0$	$+$
$g(t)$	$-2$	$\searrow$	$-\frac{122}{27}$	$\nearrow$	$4+\sqrt{2}$

端点および極値の計算は以下の通りである。

$$g(-1) = -(-1)^3 + 4(-1)^2 + 3(-1) - 4 = 1 + 4 - 3 - 4 = -2$$

$$g\left(-\frac{1}{3}\right) = -\left(-\frac{1}{27}\right) + 4\left(\frac{1}{9}\right) + 3\left(-\frac{1}{3}\right) - 4 = \frac{1}{27} + \frac{12}{27} - 1 - 4 = -\frac{122}{27}$$

$$g(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^3 + 4(\sqrt{2})^2 + 3\sqrt{2} - 4 = -2\sqrt{2} + 8 + 3\sqrt{2} - 4 = 4 + \sqrt{2}$$

増減表より、最大値と最小値が求まる。

解説

$\sin x$ と $\cos x$ の対称式は、$t = \sin x + \cos x$ とおくことで $t$ の多項式に帰着できるという、非常に重要な定石問題である。
(1) における $t$ の変域の計算ミスは、(4) の最大値・最小値に直接響くため、単位円などをイメージしながら慎重に求める必要がある。
(3) の変形では、別解として $\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)^3 - 3\sin x \cos x (\sin x + \cos x)$ の恒等式を用いてもよい。計算量はほぼ同じである。
(4) では定義域に無理数 $\sqrt{2}$ が含まれるため、増減表の右端における値の代入計算を間違えないよう注意すること。