数学2 三角関数･最大最小問題 12 解説

方針・初手

与えられた条件 $x^2 + y^2 = 1, x \geqq 0, y \geqq 0$ は、原点を中心とする半径 $1$ の円のうち、第1象限および軸上の部分を表す。問題の誘導に従い、パラメータ表示 $x = \cos\theta, y = \sin\theta$ を用いて目的の式 $F$ を $\theta$ の関数として表し、三角関数の2倍角の公式および合成を用いて最大値を求める。

解法1

$F = x^2 + 2\sqrt{3}xy - y^2$ に、$x = \cos\theta, y = \sin\theta$ を代入する。

$$F = \cos^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - \sin^2\theta$$

ここで、2倍角の公式 $\cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos 2\theta$ および $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ を用いて変形する。

$$F = \sqrt{3}\sin 2\theta + \cos 2\theta$$

したがって、①に入る式は $\sqrt{3}\sin 2\theta + \cos 2\theta$ である。

次に、この式を三角関数の合成を用いて変形する。

$$\sqrt{3}\sin 2\theta + \cos 2\theta = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} \left( \sin 2\theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos 2\theta \cdot \frac{1}{2} \right) = 2\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right)$$

これより、$F = 2\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right)$ となるため、②は $2$、③は $6$ である。

条件より $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、位相 $2\theta + \frac{\pi}{6}$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$0 \leqq 2\theta \leqq \pi$$

$$\frac{\pi}{6} \leqq 2\theta + \frac{\pi}{6} \leqq \frac{7\pi}{6}$$

この範囲において、$\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{6}\right)$ は $2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値 $1$ をとる。

このときの $\theta$ の値を求める。

$$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$

$$2\theta = \frac{\pi}{3}$$

$$\theta = \frac{\pi}{6}$$

したがって、④は $\frac{\pi}{6}$ である。

このとき、$F$ の最大値は $2 \cdot 1 = 2$ である。よって、⑤は $2$ である。

また、このときの $x, y$ の値は、$\theta = \frac{\pi}{6}$ を $x = \cos\theta, y = \sin\theta$ に代入して求める。

$$x = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$y = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

したがって、⑥は $\frac{\sqrt{3}}{2}$、⑦は $\frac{1}{2}$ である。

解説

条件式が $x^2 + y^2 = r^2$ の形であるときに、与えられた2次同次式 $ax^2 + bxy + cy^2$ の最大値・最小値を求める典型的な問題である。円のパラメータ表示である $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を代入し、2倍角の公式を用いて次数を下げる（2次式を $2\theta$ の1次式に直す）ことで、三角関数の合成に持ち込むという定石的な処理を行っている。本問は穴埋め形式による誘導があるが、誘導がない場合でも自力でこの方針を選択できるようにしておきたい。