数学2 三角関数･最大最小問題 13 解説

方針・初手

与えられた関数は $\sin x$ と $\cos x$ の2次同次式である。このような場合は、半角の公式および2倍角の公式を用いて、角を $2x$ に統一し、次数を1次に下げるのが定石である。その後、三角関数の合成を行い、とりうる値の範囲を調べる。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$f(x) = 8\sqrt{3}\cos^2 x + 6\sin x\cos x + 2\sqrt{3}\sin^2 x$$

半角の公式および2倍角の公式より、以下の関係式が成り立つ。

$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$$

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

$$\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$$

これらを関数 $f(x)$ に代入する。

$$\begin{aligned} f(x) &= 8\sqrt{3} \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) + 6 \left( \frac{\sin 2x}{2} \right) + 2\sqrt{3} \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) \\ &= 4\sqrt{3} (1 + \cos 2x) + 3\sin 2x + \sqrt{3} (1 - \cos 2x) \\ &= 3\sin 2x + 3\sqrt{3}\cos 2x + 5\sqrt{3} \end{aligned}$$

次に、得られた式を合成する。

$$\begin{aligned} f(x) &= \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} \left( \frac{3}{6}\sin 2x + \frac{3\sqrt{3}}{6}\cos 2x \right) + 5\sqrt{3} \\ &= 6 \left( \sin 2x \cdot \frac{1}{2} + \cos 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 5\sqrt{3} \\ &= 6\sin(2x + 60^\circ) + 5\sqrt{3} \end{aligned}$$

ここで、変数の定義域から角度 $2x + 60^\circ$ のとりうる範囲を求める。問題の条件より、$0^\circ \leqq x \leqq 180^\circ$ であるから、各辺を2倍して $60^\circ$ を加える。

$$0^\circ \leqq 2x \leqq 360^\circ$$

$$60^\circ \leqq 2x + 60^\circ \leqq 420^\circ$$

この範囲において、$\sin(2x + 60^\circ)$ が最大・最小となる条件を考える。

(i) 最大値について $\sin(2x + 60^\circ)$ は、角が $90^\circ$ のときに最大値 $1$ をとる。 $60^\circ \leqq 2x + 60^\circ \leqq 420^\circ$ の範囲でこれを満たすのは、

$$2x + 60^\circ = 90^\circ$$

すなわち、

$$2x = 30^\circ$$

$$x = 15^\circ$$

のときである。このとき、$f(x)$ の最大値は以下となる。

$$6 \cdot 1 + 5\sqrt{3} = 6 + 5\sqrt{3}$$

(ii) 最小値について $\sin(2x + 60^\circ)$ は、角が $270^\circ$ のときに最小値 $-1$ をとる。 $60^\circ \leqq 2x + 60^\circ \leqq 420^\circ$ の範囲でこれを満たすのは、

$$2x + 60^\circ = 270^\circ$$

すなわち、

$$2x = 210^\circ$$

$$x = 105^\circ$$

のときである。このとき、$f(x)$ の最小値は以下となる。

$$6 \cdot (-1) + 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3} - 6$$

解説

$\sin x$ と $\cos x$ の2次同次式（すべての項の次数が2の式）の最大値・最小値を求める問題の典型的な解法である。次数を下げるために $\cos^2 x$ や $\sin^2 x$ に半角の公式を適用し、$\sin x \cos x$ には2倍角の公式を適用して、角を $2x$ に統一することが最大のポイントである。角が $2x$ に統一されれば、三角関数の合成によりサインの1つの項にまとめることができ、値域の評価が容易になる。その際、合成後の角（位相）の変域がどのように変化するかに注意を払う必要がある。