数学2 三角関数･最大最小問題 15 解説

方針・初手

2倍角の公式および半角の公式を用いて、与えられた関数を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ の1次式に直す。その後、三角関数の合成を利用して $y = A \sin(2x + \alpha) + C$ の形に変形し、$x$ の定義域から位相の範囲を求めて最大・最小をとるときの $x$ の値を決定する。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$y = 2\sqrt{3} \sin x \cos x + 4 \cos^2 x - 2 \sin^2 x$$

2倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ および半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて式を変形する。

$$y = \sqrt{3} (2 \sin x \cos x) + 4 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) - 2 \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)$$

$$y = \sqrt{3} \sin 2x + 2(1 + \cos 2x) - (1 - \cos 2x)$$

$$y = \sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x + 1$$

次に、$\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x$ の部分について三角関数の合成を行う。係数の平方和の平方根は、

$$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = 2\sqrt{3}$$

であるから、

$$\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x = 2\sqrt{3} \left( \sin 2x \cdot \frac{1}{2} + \cos 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\sqrt{3} \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$

したがって、関数 $y$ は次のように表される。

$$y = 2\sqrt{3} \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 1$$

これにより、ア $= 2\sqrt{3}$、イ $= \frac{\pi}{3}$、ウ $= 1$ となる。このとき、イは条件 $0 \leqq [\text{イ}] < \pi$ を満たしている。

次に、$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値を考える。 $x$ の範囲より、$2x + \frac{\pi}{3}$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$0 \leqq 2x \leqq \pi$$

$$\frac{\pi}{3} \leqq 2x + \frac{\pi}{3} \leqq \frac{4\pi}{3}$$

この範囲において、$\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$ は $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値 $1$ をとり、$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ のとき最小値 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ をとる。

最大値をとるときの $x$ の値は、

$$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$$

$$2x = \frac{\pi}{6}$$

$$x = \frac{\pi}{12}$$

最小値をとるときの $x$ の値は、

$$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

$$2x = \pi$$

$$x = \frac{\pi}{2}$$

よって、$y$ は $x = \frac{\pi}{12}$ で最大値をとり、$x = \frac{\pi}{2}$ で最小値をとる。これにより、エ $= \frac{\pi}{12}$、オ $= \frac{\pi}{2}$ となる。

解説

三角関数の次数下げと合成を組み合わせる典型的な問題である。$\sin x \cos x$ や $\cos^2 x$、$\sin^2 x$ を含む2次の同次式（あるいはそれに定数項が加わった式）は、半角の公式と2倍角の公式を用いることで、必ず $\sin 2x$ と $\cos 2x$ の1次式に帰着させることができる。その後は三角関数の合成を行い、変数の位相部分（角度）のとりうる範囲を正確に求めたうえで単位円などをイメージして最大・最小を調べればよい。