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数学2 三角関数･最大最小問題 16 解説

方針・初手

式に $\sin x$ しか含まれていないため、$\sin x = t$ と置き換えて $t$ の3次関数の最大値・最小値問題に帰着させる。置き換えた文字 $t$ のとり得る値の範囲（定義域）を確認し、微分を用いて増減を調べる。

解法1

$\sin x = t$ とおく。

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ であるから、$t$ のとり得る値の範囲は

$$-1 \leqq t \leqq 1$$

である。

与えられた関数は $t$ を用いて

$$y = t^3 - t$$

と表される。この右辺を $f(t)$ とおく。

$f(t)$ を $t$ について微分すると

$$f'(t) = 3t^2 - 1$$

となる。$f'(t) = 0$ となる $t$ の値は

$$3t^2 - 1 = 0$$

$$t^2 = \frac{1}{3}$$

$$t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$

である。これらはともに $-1 \leqq t \leqq 1$ の範囲に含まれる。

$-1 \leqq t \leqq 1$ における $f(t)$ の増減表は次のようになる。

$t$	$-1$	$\cdots$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\cdots$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\cdots$	$1$
$f'(t)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(t)$	$0$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$0$

増減表より、$t = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ のときに最大値をとることがわかる。

その値は

$$\begin{aligned} f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) &= \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \\ &= -\frac{3\sqrt{3}}{27} + \frac{\sqrt{3}}{3} \\ &= -\frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{3\sqrt{3}}{9} \\ &= \frac{2\sqrt{3}}{9} \end{aligned}$$

である。

解説

三角関数を含む関数の最大・最小問題の典型的な解法である。$\sin x$ だけの式であるため、素直に $\sin x = t$ と置換して多項式の微分の問題に帰着させる。このとき、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ であることから $-1 \leqq t \leqq 1$ という定義域の制限が生じることを忘れないようにする。あとは増減表を書いて極大値と定義域の端点の値を比較すれば確実に答えが求まる。