数学2 三角関数･最大最小問題 17 解説

方針・初手

与えられた式は $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の2次の同次式である。このような場合は、2倍角の公式と半角の公式を用いて角を $2\theta$ に統一し、三角関数の合成に持ち込むのが定石である。

解法1

与えられた式を $y$ とおく。

$$y = \sin \theta \cos \theta + 2 \cos^2 \theta$$

2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ および半角の公式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を用いて変形する。

$$\begin{aligned} y &= \frac{1}{2} \sin 2\theta + 2 \left( \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \sin 2\theta + \cos 2\theta + 1 \end{aligned}$$

次に、$\frac{1}{2} \sin 2\theta + \cos 2\theta$ の部分について三角関数の合成を行う。

$$\frac{1}{2} \sin 2\theta + \cos 2\theta = \frac{\sqrt{5}}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \sin 2\theta + \frac{2}{\sqrt{5}} \cos 2\theta \right) = \frac{\sqrt{5}}{2} \sin(2\theta + \alpha)$$

ただし、$\alpha$ は以下の条件を満たす角である。

$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \quad \left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$$

これにより、$y$ は次のように表される。

$$y = \frac{\sqrt{5}}{2} \sin(2\theta + \alpha) + 1$$

ここで、$\theta$ の定義域は $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ であるから、$2\theta$ のとりうる値の範囲は

$$0 \leqq 2\theta \leqq \frac{\pi}{2}$$

となり、したがって $2\theta + \alpha$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$\alpha \leqq 2\theta + \alpha \leqq \frac{\pi}{2} + \alpha$$

この区間において、$\sin(2\theta + \alpha)$ の値の変動を調べる。区間の左端では $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ である。区間の右端では $\sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ である。 $\frac{1}{\sqrt{5}} < \frac{2}{\sqrt{5}} < 1$ であるため、$\sin(2\theta + \alpha)$ は $2\theta + \alpha = \frac{\pi}{2}$ のときに最大値 $1$ をとり、$2\theta + \alpha = \frac{\pi}{2} + \alpha$ のときに最小値 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ をとることがわかる。

ゆえに、$y$ の最大値は

$$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 1 + 1 = \frac{\sqrt{5} + 2}{2}$$

となる。また、$y$ の最小値は

$$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$

となる。

解説

$\sin$ と $\cos$ の2次の同次式は、角を $2\theta$ の1次式に直してから三角関数を合成する解法が非常に有効である。合成を行う際、今回のように有名角にならない角 $\alpha$ が現れることが多いが、慌てずに $\cos \alpha$ と $\sin \alpha$ の値を明記して論証を進めればよい。

また、最大値・最小値を求める際は、定義域から合成後の角 $2\theta + \alpha$ の範囲を正確に求め、その範囲内でのサインカーブの動きを丁寧に追うことが重要である。両端点の値（今回は $\sin \alpha$ と $\cos \alpha$）の大小関係を比較することで、どこで最小値をとるのかを見極めることができる。なお、問題文の「最大値を最小値を」は文脈から「最大値と最小値を」の誤植であると判断し解答した。