数学2 三角関数･最大最小問題 18 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(\theta)$ の式に現れる $\sin\theta \cos\theta$ を、$x = \sin\theta + \cos\theta$ を用いて表す。このとき、両辺を2乗して $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用する。 $x$ の変域は、三角関数の合成を用いて求める。$\theta$ の定義域が $0 \leqq \theta \leqq \pi$ に制限されていることに注意する。最後に、求めた $x$ の変域において、2次関数 $g(x)$ の最大値と最小値を求める。

解法1

$x = \sin\theta + \cos\theta$ の両辺を2乗すると、

$$x^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2$$

$$x^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから、

$$x^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$$

これを $\sin\theta\cos\theta$ について解くと、

$$\sin\theta\cos\theta = \frac{x^2 - 1}{2}$$

となる。これらを用いて、$f(\theta)$ を $x$ の式で表すと、

$$\begin{aligned} f(\theta) &= \sin\theta\cos\theta - (\sin\theta + \cos\theta) + 2 \\ &= \frac{x^2 - 1}{2} - x + 2 \\ &= \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2} \end{aligned}$$

よって、

$$g(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2}$$

次に、$x$ のとりうる値の範囲を求める。三角関数の合成を行うと、

$$x = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ より、$\theta + \frac{\pi}{4}$ のとりうる範囲は、

$$\frac{\pi}{4} \leqq \theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{5}{4}\pi$$

この範囲において、$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ は、 $\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき、すなわち $\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき最大値 $1$ をとり、 $\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5}{4}\pi$ のとき、すなわち $\theta = \pi$ のとき最小値 $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ をとる。

したがって、

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$$

各辺を $\sqrt{2}$ 倍して、

$$-1 \leqq \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq \sqrt{2}$$

すなわち、

$$-1 \leqq x \leqq \sqrt{2}$$

この変域における $g(x)$ の最大値と最小値を求める。 $g(x)$ を平方完成すると、

$$\begin{aligned} g(x) &= \frac{1}{2}(x^2 - 2x) + \frac{3}{2} \\ &= \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \\ &= \frac{1}{2}(x - 1)^2 + 1 \end{aligned}$$

この2次関数のグラフは、軸が直線 $x = 1$、頂点が点 $(1, 1)$ の下に凸の放物線である。軸 $x = 1$ は定義域 $-1 \leqq x \leqq \sqrt{2}$ に含まれるので、$g(x)$ は $x = 1$ で最小値をとる。

最小値：$g(1) = 1$

最大値は、定義域の両端である $x = -1$ と $x = \sqrt{2}$ のときの値を比較して求める。軸 $x = 1$ からの距離を比較すると、 $x = -1$ との距離は $|1 - (-1)| = 2$ $x = \sqrt{2}$ との距離は $|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1 < 1$ よって、軸から遠い $x = -1$ のとき最大値をとる。

最大値：$g(-1) = \frac{1}{2}(-1)^2 - (-1) + \frac{3}{2} = 3$

以上より、$g(x)$ の値の範囲は、

$$1 \leqq g(x) \leqq 3$$

解説

$\sin\theta \pm \cos\theta$ を文字で置き換えて、三角関数の式を2次関数などの多項式の問題に帰着させる、典型的な問題である。置き換えた文字 $x$ の定義域（変域）を正確に求めることが最も重要なステップとなる。三角関数の合成を行い、角度の範囲に注意して最大値と最小値を把握する必要がある。特に本問のように $\theta$ の範囲が $0 \leqq \theta < 2\pi$ ではない場合は、両端の値や最大・最小をとるタイミングに注意深くアプローチしなければならない。 $x$ の変域さえ正しく求まれば、あとは基本的な2次関数の最大・最小問題となる。