数学2 三角関数･最大最小問題 19 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(\theta)$ を $2\theta$ の三角関数を用いて変形し、$t = \sin 2\theta + \cos 2\theta$ の式で表す。(1)では三角関数の合成を用いて $t$ の変域を求め、(2)では $f(\theta)$ を $t$ の2次関数に帰着させる。(3)では、(1)で求めた変域において(2)の2次関数の最大値を求める。

解法1

(1)

与えられた式 $t = \sin 2\theta + \cos 2\theta$ について、三角関数の合成を行う。

$$t = \sqrt{2} \sin\left(2\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$

$\theta$ に制限はないため $2\theta + \frac{\pi}{4}$ は実数全体を動く。したがって、正弦関数の値域より以下の不等式が成り立つ。

$$-1 \leqq \sin\left(2\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$$

よって、$t$ のとりうる値の範囲は以下となる。

$$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$$

(2)

$f(\theta)$ を $2\theta$ の関数に書き換える。 2倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ と $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ 、および半角の公式 $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ を用いる。

$$\begin{aligned} f(\theta) &= 6\sin\theta\cos\theta - 8\sin^3\theta\cos\theta + 2\cos^2\theta - 1 \\ &= 2\sin\theta\cos\theta(3 - 4\sin^2\theta) + \cos 2\theta \\ &= \sin 2\theta \left\{ 3 - 4 \left( \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \right) \right\} + \cos 2\theta \\ &= \sin 2\theta (3 - 2 + 2\cos 2\theta) + \cos 2\theta \\ &= \sin 2\theta (1 + 2\cos 2\theta) + \cos 2\theta \\ &= \sin 2\theta + 2\sin 2\theta\cos 2\theta + \cos 2\theta \end{aligned}$$

項を並べ替えると、以下のようになる。

$$f(\theta) = (\sin 2\theta + \cos 2\theta) + 2\sin 2\theta\cos 2\theta$$

ここで、$t = \sin 2\theta + \cos 2\theta$ の両辺を2乗する。

$$t^2 = \sin^2 2\theta + 2\sin 2\theta\cos 2\theta + \cos^2 2\theta$$

$\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta = 1$ より、以下が成り立つ。

$$t^2 = 1 + 2\sin 2\theta\cos 2\theta$$

したがって、$2\sin 2\theta\cos 2\theta = t^2 - 1$ となるので、これを先ほどの $f(\theta)$ の式に代入する。

$$f(\theta) = t + (t^2 - 1) = t^2 + t - 1$$

(3)

(2)の結果より、$f(\theta)$ は $t$ の2次関数として表されるので、これを $g(t)$ とおく。

$$g(t) = t^2 + t - 1$$

平方完成すると以下のようになる。

$$g(t) = \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{5}{4}$$

これは下に凸の放物線であり、軸は直線 $t = -\frac{1}{2}$ である。 (1)より $t$ の定義域は $-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ である。

軸 $t = -\frac{1}{2}$ はこの定義域内にあり、区間の両端との距離を比較すると、$-\frac{1}{2}$ から右端 $\sqrt{2}$ までの距離の方が、左端 $-\sqrt{2}$ までの距離よりも大きい。したがって、$g(t)$ は軸から遠い方の端点である $t = \sqrt{2}$ のとき最大値をとる。

最大値は以下のように計算できる。

$$g(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 2 + \sqrt{2} - 1 = \sqrt{2} + 1$$

よって、$f(\theta)$ の最大値は $\sqrt{2} + 1$ である。

解説

2倍角の公式を用いて式を整理し、$\sin$ と $\cos$ の和を1つの文字 $t$ で置換して2次関数に帰着させる、極めて典型的な問題である。(2)で $f(\theta)$ を $t$ で表す際、$\sin^3\theta\cos\theta$ の項をどう処理するかがポイントとなる。ここではまず $\sin\theta\cos\theta$ でくくり出すことで見通しを良くしたが、すべての項をあらかじめ $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ だけで表すことを意識すると迷わずに済む。置換した文字 $t$ には変域の制限がつくことに注意して2次関数の最大・最小を考えるという、入試数学の定石が詰まっている。