数学2 三角関数･最大最小問題 21 解説

方針・初手

問題の誘導に従い、三角関数の合成を用いて $t = \sin\theta + \cos\theta$ を変形し、与えられた $\theta$ の範囲から $t$ のとりうる値の範囲を求める。次に、対称式の変形を用いて $\sin\theta\cos\theta$ および $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ を $t$ で表し、$f(\theta)$ を $t$ の3次関数として表す。最後に、その3次関数の定義域における増減を調べ、最大値を求める。

解法1

三角関数の合成を用いると、

$$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\left( \sin\theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos\theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2}\sin\left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$$

となる。よって、①は $\sqrt{2}$、②は $\frac{\pi}{4}$ である。

$\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{2}$ より、

$$\frac{3}{4}\pi \leqq \theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{7}{4}\pi$$

である。この範囲において $\sin\left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$ がとりうる値の範囲は、

$$-1 \leqq \sin\left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$$

となる。したがって、$t = \sqrt{2}\sin\left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$ のとりうる値の範囲は、

$$-\sqrt{2} \leqq t \leqq 1$$

となる。よって、③は $-\sqrt{2} \leqq t \leqq 1$ である。

また、

$$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$$

であるから、④は $2$ である。

さらに、乗法公式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を用いると、

$$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^3 - 3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta + \cos\theta)$$

となるから、⑤は $3$ である。

これらを用いて $f(\theta)$ を $t$ で表す。 $t^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ より、

$$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}$$

である。これを $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ の式に代入すると、

$$\begin{aligned} \sin^3\theta + \cos^3\theta &= t^3 - 3\left(\frac{t^2 - 1}{2}\right)t \\ &= t^3 - \frac{3}{2}t^3 + \frac{3}{2}t \\ &= -\frac{1}{2}t^3 + \frac{3}{2}t \end{aligned}$$

となる。したがって、$f(\theta)$ を $t$ で表すと、

$$\begin{aligned} f(\theta) &= 2(\sin^3\theta + \cos^3\theta) - 8\sin\theta\cos\theta \\ &= 2\left(-\frac{1}{2}t^3 + \frac{3}{2}t\right) - 8\left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) \\ &= -t^3 + 3t - 4(t^2 - 1) \\ &= -t^3 - 4t^2 + 3t + 4 \end{aligned}$$

となる。よって、⑥は $-t^3 - 4t^2 + 3t + 4$ である。

最後に、$g(t) = -t^3 - 4t^2 + 3t + 4$ とおき、$-\sqrt{2} \leqq t \leqq 1$ における最大値を求める。 $g(t)$ を微分すると、

$$g'(t) = -3t^2 - 8t + 3 = -(3t - 1)(t + 3)$$

となる。$g'(t) = 0$ とすると $t = \frac{1}{3}, -3$ である。 $-\sqrt{2} \leqq t \leqq 1$ における $g(t)$ の増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline t & -\sqrt{2} & \cdots & \frac{1}{3} & \cdots & 1 \\ \hline g'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline g(t) & -4-\sqrt{2} & \nearrow & \frac{122}{27} & \searrow & 2 \\ \hline \end{array}$$

増減表より、$t = \frac{1}{3}$ のとき最大値 $\frac{122}{27}$ をとる。よって、⑦は $\frac{122}{27}$ である。

解説

$t = \sin\theta + \cos\theta$ と置き換えることで、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の対称式で表される関数を $t$ の関数に帰着させる典型的な問題である。$\theta$ の範囲から $t$ の変域を正確に求めることが重要である。三角関数の合成を用いた値域の計算でミスをしないように注意したい。