数学2 三角関数･最大最小問題 24 解説

方針・初手

(1) は $\sin x$ と $\cos x$ の対称式の変形である。$t = \sin x + \cos x$ の両辺を2乗することで $\sin x \cos x$ を $t$ で表し、さらに $\sin^3 x + \cos^3 x$ を乗法公式を用いて $t$ の式に変形する。これを $f(x)$ に代入して整理する。

(2) は (1) で求めた $t$ の3次関数の最大値・最小値を求める問題に帰着される。ここで最も重要なのは、変数変換した $t$ のとりうる値の範囲を三角関数の合成を用いて求めることである。定義域を定めたうえで、微分を用いて関数の増減を調べ、極値と区間の両端における値を比較する。

解法1

(1)

与えられた式 $t = \sin x + \cos x$ の両辺を2乗すると、

$$t^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ であるから、

$$t^2 = 1 + 2\sin x \cos x$$

$$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$$

また、$\sin^3 x + \cos^3 x$ は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \sin^3 x + \cos^3 x &= (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) \\ &= t(1 - \sin x \cos x) \end{aligned}$$

これに $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$ を代入する。

$$\begin{aligned} \sin^3 x + \cos^3 x &= t \left( 1 - \frac{t^2 - 1}{2} \right) \\ &= t \left( \frac{2 - t^2 + 1}{2} \right) \\ &= \frac{-t^3 + 3t}{2} \end{aligned}$$

以上の結果を $f(x)$ に代入して整理する。

$$\begin{aligned} f(x) &= 2(\sin^3 x + \cos^3 x) + 3\sin x \cos x - 3(\sin x + \cos x) + 2 \\ &= 2 \left( \frac{-t^3 + 3t}{2} \right) + 3 \left( \frac{t^2 - 1}{2} \right) - 3t + 2 \\ &= -t^3 + 3t + \frac{3}{2}t^2 - \frac{3}{2} - 3t + 2 \\ &= -t^3 + \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2} \end{aligned}$$

(2)

まず、$t = \sin x + \cos x$ のとりうる値の範囲を求める。三角関数の合成を用いると、

$$\begin{aligned} t &= \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) \\ &= \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \end{aligned}$$

$x$ はすべての実数をとるので、$-1 \leqq \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leqq 1$ である。したがって、$t$ のとりうる値の範囲は、

$$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$$

(1) の結果より、$f(x)$ を $t$ の関数 $g(t)$ とおくと、

$$g(t) = -t^3 + \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2} \quad (-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2})$$

$g(t)$ の増減を調べるために、$t$ で微分する。

$$g'(t) = -3t^2 + 3t = -3t(t - 1)$$

$g'(t) = 0$ とすると、$t = 0, 1$ である。これらは区間 $-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ に含まれる。 $g(t)$ の増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} t & -\sqrt{2} & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt{2} \\ \hline g'(t) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline g(t) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \end{array}$$

各点における関数 $g(t)$ の値を計算する。

$$\begin{aligned} g(-\sqrt{2}) &= -(-\sqrt{2})^3 + \frac{3}{2}(-\sqrt{2})^2 + \frac{1}{2} = 2\sqrt{2} + 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} + 2\sqrt{2} \\ g(0) &= \frac{1}{2} \\ g(1) &= -1 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 1 \\ g(\sqrt{2}) &= -(\sqrt{2})^3 + \frac{3}{2}(\sqrt{2})^2 + \frac{1}{2} = -2\sqrt{2} + 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} - 2\sqrt{2} \end{aligned}$$

ここで、最大値と最小値の候補を比較する。最大値の候補は $g(-\sqrt{2}) = \frac{7}{2} + 2\sqrt{2}$ と $g(1) = 1$ であるが、明らかに $\frac{7}{2} + 2\sqrt{2} > 1$ である。最小値の候補は $g(0) = \frac{1}{2}$ と $g(\sqrt{2}) = \frac{7}{2} - 2\sqrt{2}$ である。差をとって比較すると、

$$\left( \frac{7}{2} - 2\sqrt{2} \right) - \frac{1}{2} = 3 - 2\sqrt{2} = \sqrt{9} - \sqrt{8} > 0$$

よって、$\frac{7}{2} - 2\sqrt{2} > \frac{1}{2}$ であり、最小値は $g(0) = \frac{1}{2}$ となる。

以上より、最大値は $\frac{7}{2} + 2\sqrt{2}$、最小値は $\frac{1}{2}$ である。

解説

三角関数の対称式を多項式に置き換えて処理する、大学入試における超頻出問題である。以下の2点が重要なポイントとなる。

対称式の変形：$\sin x + \cos x$ を $t$ とおくことで、$\sin x \cos x$ や $\sin^n x + \cos^n x$ といったすべての基本対称式およびその組み合わせを $t$ の式で表現できる。
変域の確認：変数を $x$ から $t$ へ変換した際は、必ず新しい変数 $t$ のとりうる値の範囲（定義域）を確認しなければならない。本問では $t = \sin x + \cos x$ であるため、三角関数の合成を用いて $-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ を導出することが必須である。これを怠ると、定義域全体における誤った最大・最小を答えてしまうことになる。

端点 $t = \sqrt{2}$ の値と極小値 $t = 0$ の値の大小比較において、近似値計算を頭の中で行ってもよいが、答案上では平方根を揃えて差の符号を調べる論証を挟むと丁寧である。