数学2 三角関数･最大最小問題 25 解説

方針・初手

三角関数の合成を用いて不等式を解き、$\theta$ の取り得る値の範囲を求める。次に、倍角の公式と相互関係を利用して関数 $y$ を $\sin\theta$ だけの式に書き換える。最後に、置換した変数 $x = \sin\theta$ の定義域に注意しながら、微分を用いて $y$ の最大値と最小値を求める。

解法1

まず、与えられた不等式 $-\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta \leqq 1$ を解く。

左辺を合成すると、

$$2\sin\left(\theta + \frac{5}{6}\pi\right) \leqq 1$$

$$\sin\left(\theta + \frac{5}{6}\pi\right) \leqq \frac{1}{2}$$

となる。$0 \leqq \theta < 2\pi$ より、

$$\frac{5}{6}\pi \leqq \theta + \frac{5}{6}\pi < \frac{17}{6}\pi$$

である。この範囲で不等式を満たすのは、

$$\frac{5}{6}\pi \leqq \theta + \frac{5}{6}\pi \leqq \frac{13}{6}\pi$$

のときである。各辺から $\frac{5}{6}\pi$ を引いて、

$$0 \leqq \theta \leqq \frac{4}{3}\pi$$

を得る。これが [カ]、[キ] に当てはまる。

次に、$y$ を $\sin\theta$ の式で表す。$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$、$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ を用いると、

$$y = 2\sin\theta - 2\sin\theta(1 - 2\sin^2 \theta) - 3(1 - \sin^2 \theta) + 3$$

$$y = 2\sin\theta - 2\sin\theta + 4\sin^3 \theta - 3 + 3\sin^2 \theta + 3$$

$$y = 4\sin^3 \theta + 3\sin^2 \theta$$

となる。ここで、$x = \sin\theta$ とおくと $y = 4x^3 + 3x^2$ と表せる。これが [コ] に当てはまる。

$x$ の取り得る値の範囲を考える。$0 \leqq \theta \leqq \frac{4}{3}\pi$ の範囲において、$\sin\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値 $1$、$\theta = \frac{4}{3}\pi$ のとき最小値 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ をとる。したがって、$x$ の範囲は、

$$-\frac{\sqrt{3}}{2} \leqq x \leqq 1$$

となる。これが [ク]、[ケ] に当てはまる。

この範囲における関数 $f(x) = 4x^3 + 3x^2$ の最大値と最小値を求める。導関数 $f'(x)$ は、

$$f'(x) = 12x^2 + 6x = 6x(2x + 1)$$

となる。$f'(x) = 0$ とすると $x = -\frac{1}{2}, 0$ である。端点および極値をとる $x$ における $f(x)$ の値を調べる。

$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$f\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4\left(-\frac{3\sqrt{3}}{8}\right) + 3\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{9 - 6\sqrt{3}}{4}$

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$f\left(-\frac{1}{2}\right) = 4\left(-\frac{1}{8}\right) + 3\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$

$x = 0$ のとき、$f(0) = 0$

$x = 1$ のとき、$f(1) = 4(1) + 3(1) = 7$

ここで、最小値の候補である $0$ と $\frac{9 - 6\sqrt{3}}{4}$ の大小を比較する。$6\sqrt{3} = \sqrt{108}$、$9 = \sqrt{81}$ より $9 - 6\sqrt{3} < 0$ であるから、$\frac{9 - 6\sqrt{3}}{4} < 0$ である。

したがって、最大値は $x = 1$ のとき $7$、最小値は $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき $\frac{9 - 6\sqrt{3}}{4}$ となる。これらが [サ]、[シ] に当てはまる。