数学2 三角関数･最大最小問題 26 解説

方針・初手

2倍角の公式と3倍角の公式を用いて、$f(\theta)$ を $x = \cos \theta$ の式で表すことから始めます。その後、$g(\theta)$ を計算し、$x$ の2次関数に帰着させます。(2)では、開区間において2次関数が最小値をもつための条件（頂点が区間内に存在すること）を考察します。

解法1

(1)

$x = \cos \theta$ とおく。2倍角の公式、3倍角の公式より、

$$\begin{aligned} \cos 2\theta &= 2\cos^2\theta - 1 = 2x^2 - 1 \\ \cos 3\theta &= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta = 4x^3 - 3x \end{aligned}$$

これらを $f(\theta)$ の式に代入すると、

$$\begin{aligned} f(\theta) &= (4x^3 - 3x) + a(2x^2 - 1) + bx \\ &= 4x^3 + 2ax^2 + (b-3)x - a \end{aligned}$$

また、$f(0)$ は $\theta=0$ すなわち $x=1$ のときの値であるから、

$$f(0) = 4\cdot 1^3 + 2a\cdot 1^2 + (b-3)\cdot 1 - a = a + b + 1$$

次に、$f(\theta) - f(0)$ を計算する。

$$f(\theta) - f(0) = 4x^3 + 2ax^2 + (b-3)x - 2a - b - 1$$

因数定理により、この式は $x=1$ を代入すると $0$ になるため $x-1$ を因数にもつ。割り算を実行すると、

$$4x^3 + 2ax^2 + (b-3)x - 2a - b - 1 = (x-1)\{4x^2 + 2(a+2)x + 2a+b+1\}$$

よって、$g(\theta)$ は以下のように表せる。

$$\begin{aligned} g(\theta) &= \frac{f(\theta) - f(0)}{\cos \theta - 1} \\ &= \frac{(x-1)\{4x^2 + 2(a+2)x + 2a+b+1\}}{x-1} \\ &= 4x^2 + 2(a+2)x + 2a+b+1 \end{aligned}$$

(2)

$0 < \theta < \pi$ のとき、$x = \cos \theta$ のとりうる値の範囲は $-1 < x < 1$ である。 $x$ の関数として $h(x) = 4x^2 + 2(a+2)x + 2a+b+1$ とおく。

問題は、「$h(x)$ が $-1 < x < 1$ の範囲で最小値 $0$ をとるための $a, b$ の条件」を求めることに帰着される。 $h(x)$ は $x^2$ の係数が正であるため、下に凸の放物線である。開区間 $-1 < x < 1$ において最小値をとるためには、放物線の頂点の $x$ 座標がこの区間内に存在することが必要十分条件である。

$h(x)$ を平方完成する。

$$\begin{aligned} h(x) &= 4\left(x^2 + \frac{a+2}{2}x\right) + 2a+b+1 \\ &= 4\left(x + \frac{a+2}{4}\right)^2 - 4\left(\frac{a+2}{4}\right)^2 + 2a+b+1 \\ &= 4\left(x + \frac{a+2}{4}\right)^2 - \frac{a^2+4a+4}{4} + \frac{8a+4b+4}{4} \\ &= 4\left(x + \frac{a+2}{4}\right)^2 + b - \frac{1}{4}a^2 + a \end{aligned}$$

したがって、頂点の座標は $\left(-\frac{a+2}{4}, b - \frac{1}{4}a^2 + a\right)$ である。

頂点が区間 $-1 < x < 1$ 内にある条件は、

$$-1 < -\frac{a+2}{4} < 1$$

各辺に $-4$ を掛けて不等号の向きを反転させると、

$$-4 < a+2 < 4$$

$$-6 < a < 2$$

このとき、区間における最小値は頂点の $y$ 座標となる。これが $0$ となる条件は、

$$b - \frac{1}{4}a^2 + a = 0$$

$$b = \frac{1}{4}a^2 - a$$

以上より、求める条件は $-6 < a < 2$ かつ $b = \frac{1}{4}a^2 - a$ である。

点 $(a, b)$ が描く図形は、放物線 $b = \frac{1}{4}a^2 - a$ の一部である。この式を変形すると $b = \frac{1}{4}(a-2)^2 - 1$ となり、頂点は $(2, -1)$ である。 $a$ の変域の端点における $b$ の値は、 $a = -6$ のとき $b = \frac{1}{4}(-8)^2 - 1 = 15$ $a = 2$ のとき $b = -1$ また、$a = 0$ のとき $b = 0$ であり、原点を通る。

解説

三角関数の多項式への変換と、2次関数の最大・最小を組み合わせた典型的な融合問題です。 $g(\theta)$ の分子 $f(\theta) - f(0)$ が $\cos\theta - 1$ を因数にもつことは、$\theta=0$ を代入したときに分子が $f(0) - f(0) = 0$ となることから、因数定理によりあらかじめ保証されています。 (2)における最大のポイントは、「開区間（両端を含まない範囲）で最小値をもつ」という条件の解釈です。関数のグラフが区間の端で一番小さくなるような単調減少（または単調増加）の場合、開区間では「最小値は存在しない（極限値にとどまる）」ことになります。したがって、最小値をとるためには区間内に極小値（今回であれば頂点）が必ず存在しなければならないことに気づけるかが鍵となります。