数学2 三角関数･最大最小 問題 27 解説

方針・初手

(1)は、与えられた $x = \sin t - \cos t$ の両辺を2乗することで、$\sin 2t$ を $x$ の式で表すのが定石である。 (2)は、(1)で求めた $x$ の3次関数の最大・最小問題に帰着させる。その際、$t$ の変域から $x$ の変域を正確に求めること（三角関数の合成）が必要となる。

解法1

(1)

$x = \sin t - \cos t$ の両辺を2乗すると、

$$x^2 = (\sin t - \cos t)^2$$

$$x^2 = \sin^2 t - 2\sin t \cos t + \cos^2 t$$

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ および $2\sin t \cos t = \sin 2t$ であるから、

$$x^2 = 1 - \sin 2t$$

よって、

$$\sin 2t = 1 - x^2$$

これを与式 $f(t) = (\sin t - \cos t) \sin 2t$ に代入すると、

$$f(t) = x(1 - x^2) = -x^3 + x$$

(2)

まず、$x = \sin t - \cos t$ のとりうる値の範囲を求める。三角関数の合成を用いると、

$$x = \sqrt{2} \left( \sin t \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \cos t \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \sin\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$$

$0 \leqq t \leqq \pi$ より、

$$-\frac{\pi}{4} \leqq t - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3}{4}\pi$$

この範囲において、$\sin\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$ のとりうる値の範囲は、

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \sin\left(t - \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$$

したがって、$x$ のとりうる値の範囲は、

$$-1 \leqq x \leqq \sqrt{2}$$

次に、$g(x) = -x^3 + x$ （$-1 \leqq x \leqq \sqrt{2}$）とおき、この関数の最大値と最小値を調べる。

$$g'(x) = -3x^2 + 1$$

$g'(x) = 0$ とすると、$x^2 = \frac{1}{3}$ より $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

$-1 \leqq x \leqq \sqrt{2}$ における $g(x)$ の増減表は以下のようになる。

ここで、極値および端点の値の大小を比較する。極小値 $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$ と端点の値 $-\sqrt{2}$ について、

$$-\sqrt{2} = -\frac{9\sqrt{2}}{9} = -\frac{\sqrt{162}}{9}$$

$$-\frac{2\sqrt{3}}{9} = -\frac{\sqrt{12}}{9}$$

$\sqrt{162} > \sqrt{12}$ であるから、$-\sqrt{2} < -\frac{2\sqrt{3}}{9}$ となり、最小値は $-\sqrt{2}$ である。

また、極大値は $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ 、もう一方の端点の値は $0$ であり、$\frac{2\sqrt{3}}{9} > 0$ であるから、最大値は $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ である。

解説

$\sin x$ と $\cos x$ の対称式・交代式に関する典型問題である。$\sin t + \cos t$ または $\sin t - \cos t$ を一つの文字で置き換えることで、$\sin 2t$ などをその文字で表現し、多項式の問題に帰着させる手法は頻出である。 置き換えた文字の変域を求める際は、三角関数の合成を利用し、角度の範囲に注意して慎重に最大・最小を判定する必要がある。また、最後に3次関数の最大値・最小値を決定する際、極値と端点の値の大小比較（とくに無理数を含む場合）を平方するなどして正確に行うことが求められる。

答え

(1) $-x^3 + x$

(2) 最大値 $\frac{2\sqrt{3}}{9}$，最小値 $-\sqrt{2}$