数学2 三角関数･最大最小問題 29 解説

方針・初手

2点間の距離の公式を用いて $\text{PQ}^2$ と $\text{QR}^2$ を $\theta$ の式で表す。式中に $\cos\theta$ と $\cos 2\theta$ が現れるため、三角関数の2倍角の公式を用いて $\cos\theta$ のみの式に統一し、$\cos\theta = t$ とおいて2次関数の最大・最小問題に帰着させる。

解法1

$\text{P}(\cos\theta, \sin\theta)$, $\text{Q}(\cos 2\theta, \sin 2\theta)$, $\text{R}(\cos 4\theta, \sin 4\theta)$ であるから、2点 $\text{P, Q}$ 間の距離の2乗は

$$\begin{aligned} \text{PQ}^2 &= (\cos 2\theta - \cos\theta)^2 + (\sin 2\theta - \sin\theta)^2 \\ &= \cos^2 2\theta - 2\cos 2\theta\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2 2\theta - 2\sin 2\theta\sin\theta + \sin^2\theta \\ &= (\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta) + (\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 2(\cos 2\theta\cos\theta + \sin 2\theta\sin\theta) \\ &= 2 - 2\cos(2\theta - \theta) \\ &= 2 - 2\cos\theta \end{aligned}$$

同様に、2点 $\text{Q, R}$ 間の距離の2乗は

$$\begin{aligned} \text{QR}^2 &= (\cos 4\theta - \cos 2\theta)^2 + (\sin 4\theta - \sin 2\theta)^2 \\ &= 2 - 2\cos(4\theta - 2\theta) \\ &= 2 - 2\cos 2\theta \end{aligned}$$

したがって、求める和は

$$\text{PQ}^2 + \text{QR}^2 = 4 - 2\cos\theta - 2\cos 2\theta$$

ここで、2倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ を用いると

$$\begin{aligned} \text{PQ}^2 + \text{QR}^2 &= 4 - 2\cos\theta - 2(2\cos^2\theta - 1) \\ &= -4\cos^2\theta - 2\cos\theta + 6 \end{aligned}$$

$t = \cos\theta$ とおく。$\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ の範囲を動くとき、$t$ のとり得る値の範囲は

$$-1 \leqq t \leqq 1$$

である。このとき、$\text{PQ}^2 + \text{QR}^2$ を $t$ の関数とみて $f(t)$ とおくと、

$$\begin{aligned} f(t) &= -4t^2 - 2t + 6 \\ &= -4\left(t^2 + \frac{1}{2}t\right) + 6 \\ &= -4\left(t + \frac{1}{4}\right)^2 + 4 \cdot \frac{1}{16} + 6 \\ &= -4\left(t + \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{25}{4} \end{aligned}$$

$f(t)$ は $t = -\frac{1}{4}$ を軸とする上に凸の2次関数である。定義域 $-1 \leqq t \leqq 1$ における最大値と最小値を調べる。

軸 $t = -\frac{1}{4}$ は定義域に含まれるため、最大値は頂点において

$$f\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{25}{4}$$

最小値は、軸から遠い端点である $t = 1$ のときにとり、

$$f(1) = -4(1)^2 - 2(1) + 6 = 0$$

なお、もう一方の端点では $f(-1) = -4(-1)^2 - 2(-1) + 6 = 4$ である。

以上より、$f(t)$ のとり得る値の範囲は $0 \leqq f(t) \leqq \frac{25}{4}$ となる。

解法2

（ベクトルを用いた解法）

原点を $\text{O}$ とし、各点の位置ベクトルを $\vec{p} = (\cos\theta, \sin\theta)$, $\vec{q} = (\cos 2\theta, \sin 2\theta)$, $\vec{r} = (\cos 4\theta, \sin 4\theta)$ とおく。これらはすべて単位円周上の点であるから、その大きさは

$$|\vec{p}| = |\vec{q}| = |\vec{r}| = 1$$

また、ベクトルの内積はなす角を用いて計算できる。$\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角は $|2\theta - \theta| = \theta$ であるから、

$$\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}|\cos\theta = \cos\theta$$

同様に、$\vec{q}$ と $\vec{r}$ のなす角は $|4\theta - 2\theta| = 2\theta$ であるから、

$$\vec{q} \cdot \vec{r} = |\vec{q}||\vec{r}|\cos 2\theta = \cos 2\theta$$

これらを用いると、$\text{PQ}^2$ と $\text{QR}^2$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \text{PQ}^2 &= |\vec{q} - \vec{p}|^2 \\ &= |\vec{q}|^2 - 2\vec{p} \cdot \vec{q} + |\vec{p}|^2 \\ &= 1 - 2\cos\theta + 1 \\ &= 2 - 2\cos\theta \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \text{QR}^2 &= |\vec{r} - \vec{q}|^2 \\ &= |\vec{r}|^2 - 2\vec{q} \cdot \vec{r} + |\vec{q}|^2 \\ &= 1 - 2\cos 2\theta + 1 \\ &= 2 - 2\cos 2\theta \end{aligned}$$

したがって、求める和は

$$\text{PQ}^2 + \text{QR}^2 = 4 - 2\cos\theta - 2\cos 2\theta$$

以降は解法1と同様に、$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ を代入し、$t = \cos\theta$ の2次関数として定義域 $-1 \leqq t \leqq 1$ における最大値と最小値を求めればよい。

解説

三角関数で表された座標を持つ点の距離の2乗を求める問題である。真面目に座標の差の2乗を展開し、加法定理（コサインの差の形）に帰着させるのが基本的な考え方である。解法2のように、ベクトルの内積の図形的な意味（または余弦定理）を用いると、加法定理の計算を省略できて見通しが良い。複素数平面の絶対値を用いて $|z^2 - z|^2$ のように計算しても本質的に同じ式が得られる。

最終的には $\cos\theta$ と $\cos 2\theta$ の式になるため、2倍角の公式で $\cos\theta$ に統一し、置換によって2次関数の最大・最小問題に帰着させるのが定石である。置換した文字の定義域（今回は $-1 \leqq t \leqq 1$）を正しく設定することが重要である。