数学2 三角関数･最大最小問題 30 解説

方針・初手

与えられた式は $\sin x$ と $\cos x$ の2次同次式（すべての項の次数が2）である。このような場合は、半角の公式および2倍角の公式を用いて角を $2x$ に統一し、1次式に次数下げを行うのが定石である。その後、三角関数の合成を用いて1つのサイン（またはコサイン）の関数にまとめ、とりうる値の範囲を考える。

解法1

与えられた関数は、半角の公式および2倍角の公式を用いることで以下のように変形できる。

$$\begin{aligned} y &= \sin^2 x + 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x \\ &= \frac{1 - \cos 2x}{2} + 2(2\sin x \cos x) + 5 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x + 2\sin 2x + \frac{5}{2} + \frac{5}{2}\cos 2x \\ &= 2\sin 2x + 2\cos 2x + 3 \end{aligned}$$

ここで、三角関数の合成を行うと、

$$\begin{aligned} y &= 2\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x \right) + 3 \\ &= 2\sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 3 \end{aligned}$$

となる。

$x$ はすべての実数値をとるので、$2x + \frac{\pi}{4}$ もすべての実数値をとる。したがって、サインのとりうる値の範囲は

$$-1 \leqq \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$$

である。

各辺に $2\sqrt{2}$ を掛け、3 を加えると

$$3 - 2\sqrt{2} \leqq 2\sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 3 \leqq 3 + 2\sqrt{2}$$

となり、これが $y$ のとりうる値の範囲である。

したがって、最大値は $3 + 2\sqrt{2}$ 最小値は $3 - 2\sqrt{2}$

解法2

関数 $y$ の式を $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いて同次式の分数関数の形とみなし、$t = \tan x$ とおいて $t$ の方程式の実数解の存在条件に帰着させる。

与式より、

$$y = \frac{\sin^2 x + 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x}$$

(i) $\cos x = 0$ のとき

$\sin^2 x = 1$ であるから、式に代入して $y = 1$ を得る。

(ii) $\cos x \neq 0$ のとき

分母・分子を $\cos^2 x$ で割ると、

$$y = \frac{\tan^2 x + 4\tan x + 5}{\tan^2 x + 1}$$

ここで $\tan x = t$ とおくと、$x$ が $\cos x \neq 0$ の範囲を動くとき、$t$ はすべての実数値をとる。

$$y = \frac{t^2 + 4t + 5}{t^2 + 1}$$

分母を払って整理すると、

$$y(t^2 + 1) = t^2 + 4t + 5$$

$$(y - 1)t^2 - 4t + y - 5 = 0 \quad \cdots (*)$$

$t$ についてのこの方程式が実数解をもつような $y$ の範囲を求める。 $y = 1$ のとき、方程式 $(*)$ は $-4t - 4 = 0$ となり、$t = -1$ という実数解をもつ。（これは $\tan x = -1$ より存在する。） $y \neq 1$ のとき、方程式 $(*)$ は $t$ についての2次方程式となる。実数解をもつための条件は、判別式を $D$ とすると $D \geqq 0$ である。

$$\frac{D}{4} = (-2)^2 - (y - 1)(y - 5) \geqq 0$$

展開して整理すると、

$$4 - (y^2 - 6y + 5) \geqq 0$$

$$y^2 - 6y + 1 \leqq 0$$

方程式 $y^2 - 6y + 1 = 0$ の解は $y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$ であるから、不等式の解は

$$3 - 2\sqrt{2} \leqq y \leqq 3 + 2\sqrt{2}$$

この範囲には $y = 1$ および (i) の値も含まれている。よって $y$ のとりうる値の範囲は $3 - 2\sqrt{2} \leqq y \leqq 3 + 2\sqrt{2}$ である。