数学2 三角関数･最大最小 問題 31 解説

方針・初手

(1)は三角関数の合成を用いて、$t$ のとり得る値の範囲を求める。

(2)は $t = \sin x - \cos x$ の両辺を2乗することで $\sin 2x$ を $t$ を用いて表し、$y$ を $t$ の2次関数として扱う。その際、(1)で求めた $t$ の定義域に注意して最大値と最小値を求める。

解法1

(1)

$t = \sin x - \cos x$ を合成すると、

$$t = \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$$

となる。$0 \leqq x \leqq \pi$ であるから、

$$-\frac{\pi}{4} \leqq x - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3\pi}{4}$$

である。この範囲において $\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$ のとり得る値の範囲は、

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \leqq 1$$

となる。辺々に $\sqrt{2}$ を掛けて、

$$-1 \leqq \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \leqq \sqrt{2}$$

よって、$t$ のとり得る値の範囲は、

$$-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$$

(2)

$t = \sin x - \cos x$ の両辺を2乗すると、

$$t^2 = (\sin x - \cos x)^2$$

$$t^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x$$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ および $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ より、

$$t^2 = 1 - \sin 2x$$

すなわち、

$$\sin 2x = 1 - t^2$$

となる。これを与式 $y = 2 \sin 2x - 2(\sin x - \cos x) + 1$ に代入すると、

$$y = 2(1 - t^2) - 2t + 1$$

$$y = -2t^2 - 2t + 3$$

となる。これを平方完成すると、

$$y = -2 \left( t + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{7}{2}$$

となる。(1)より $t$ の定義域は $-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$ であるから、この範囲で $y$ のとり得る値の範囲を考える。

$y$ は $t = -\frac{1}{2}$ を軸とする上に凸の2次関数である。軸 $t = -\frac{1}{2}$ は定義域 $-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$ に含まれるため、$t = -\frac{1}{2}$ のとき最大値をとる。

最大値は、

$$y = \frac{7}{2}$$

最小値は、軸 $t = -\frac{1}{2}$ から遠い方の端点である $t = \sqrt{2}$ のときにとる。

$$y = -2(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} + 3 = -1 - 2\sqrt{2}$$

（念のため $t = -1$ のときを確認すると $y = -2(-1)^2 - 2(-1) + 3 = 3$ であり、$-1 - 2\sqrt{2}$ より大きい。）

したがって、$y$ のとり得る値の範囲は、

$$-1 - 2\sqrt{2} \leqq y \leqq \frac{7}{2}$$

解説

$\sin x$ と $\cos x$ の和や差を含む関数を、その和や差を $t$ とおいて $t$ の関数（多くは2次関数）に帰着させる、非常に典型的な問題である。

ポイントは以下の2点である。

1. $t$ をおいた際、必ず三角関数の合成を用いて $t$ 自身のとり得る値の範囲（定義域）を確認すること。
2. $t$ の式を2乗することで、2倍角 $\sin 2x$ を $t$ で表すこと。

この手順を踏むことで、見慣れた2次関数の最大・最小問題に持ち込むことができる。

答え

(1)

$$-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$$

(2)

$$-1 - 2\sqrt{2} \leqq y \leqq \frac{7}{2}$$