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数学2 三角関数･最大最小問題 33 解説

方針・初手

正三角形が円に内接している条件と、点 P の位置関係から各角の大きさを把握する。外接円の半径が与えられているため、正弦定理を用いて各線分の長さを $\theta$ で表すことが第一歩である。

解法1

(1)

正三角形 ABC の内角は $\frac{\pi}{3}$ である。四角形 ACBP は円に内接するので、内対角の和の性質から、

$$\angle\text{APB} = \pi - \angle\text{ACB} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

$\triangle\text{PAB}$ の内角の和に注目すると、

$$\angle\text{PAB} = \pi - (\angle\text{PBA} + \angle\text{APB}) = \pi - \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} - \theta$$

ここで、P は A, B と異なる点で弧 AB 上にあるから、$\angle\text{PAB} > 0$ かつ $\angle\text{PBA} > 0$ である。よって $0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ を満たす。

$\triangle\text{PAB}$ に正弦定理を適用する。外接円の半径が $1$ であるから、

$$\text{PA} = 2 \cdot 1 \cdot \sin\theta = 2\sin\theta$$

$$\text{PB} = 2 \cdot 1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)$$

次に $\triangle\text{PBC}$ を考える。

$$\angle\text{PBC} = \angle\text{PBA} + \angle\text{ABC} = \theta + \frac{\pi}{3}$$

円周角の定理より、弧 AB に対する円周角は等しいから $\angle\text{BPC} = \angle\text{BAC} = \frac{\pi}{3}$ である。 $\triangle\text{PBC}$ に正弦定理を適用すると、

$$\text{PC} = 2 \cdot 1 \cdot \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$$

続いて $\text{PA} + \text{PB} + \text{PC}$ の最大値を求める。三角関数の加法定理を用いて $\text{PA} + \text{PB}$ を展開し整理すると、

$$\begin{aligned} \text{PA} + \text{PB} &= 2\sin\theta + 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) \\ &= 2\sin\theta + 2\left(\sin\frac{\pi}{3}\cos\theta - \cos\frac{\pi}{3}\sin\theta\right) \\ &= 2\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta \\ &= \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta \\ &= 2\left(\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right) \\ &= 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) \end{aligned}$$

これは $\text{PC}$ と等しい。したがって、

$$\text{PA} + \text{PB} + \text{PC} = 2\text{PC} = 4\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ より $\frac{\pi}{3} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{2\pi}{3}$ であるから、$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$ は $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ すなわち $\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき最大値をとる。したがって、最大値は $4 \sin\frac{\pi}{2} = 4$ である。

(2)

(1) の結果を用いると、

$$\text{PA}^2 + \text{PB}^2 + \text{PC}^2 = 4\sin^2\theta + 4\sin^2\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) + 4\sin^2\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$$

半角の公式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて次数を下げる。

$$\begin{aligned} \text{PA}^2 + \text{PB}^2 + \text{PC}^2 &= 2(1 - \cos 2\theta) + 2\left\{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2\theta\right)\right\} + 2\left\{1 - \cos\left(2\theta + \frac{2\pi}{3}\right)\right\} \\ &= 6 - 2\left\{ \cos 2\theta + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2\theta\right) + \cos\left(2\theta + \frac{2\pi}{3}\right) \right\} \end{aligned}$$

和と積の公式 $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ を後半の2項に適用する。

$$\begin{aligned} \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2\theta\right) + \cos\left(2\theta + \frac{2\pi}{3}\right) &= 2\cos\frac{4\pi/3}{2}\cos\frac{-4\theta}{2} \\ &= 2\cos\frac{2\pi}{3}\cos(-2\theta) \\ &= 2 \left(-\frac{1}{2}\right) \cos 2\theta \\ &= -\cos 2\theta \end{aligned}$$

これを代入すると、

$$\begin{aligned} \text{PA}^2 + \text{PB}^2 + \text{PC}^2 &= 6 - 2\left\{ \cos 2\theta + (-\cos 2\theta) \right\} \\ &= 6 - 2 \cdot 0 \\ &= 6 \end{aligned}$$

解法2

(1) の $\text{PC}$ の求め方と最大値についての別解

円に内接する四角形 ACBP について、トレミーの定理を適用すると、

$$\text{PC} \cdot \text{AB} = \text{PA} \cdot \text{BC} + \text{PB} \cdot \text{AC}$$

$\triangle\text{ABC}$ は正三角形であるから $\text{AB} = \text{BC} = \text{AC}$ であり、両辺をこれで割ると、

$$\text{PC} = \text{PA} + \text{PB}$$

が成り立つ。これに $\text{PA} = 2\sin\theta$ と $\text{PB} = 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)$ を代入して三角関数の合成を行うと、解法1と同様に $\text{PC} = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$ を得る。また、求める和は $\text{PA} + \text{PB} + \text{PC} = 2\text{PC}$ となるため、$\text{PC}$ が最大になるときを考えればよく、見通しよく解答を進めることができる。

解説

円に内接する正三角形と動点に関する典型的な問題である。図形の性質から各角を $\theta$ で表し、正弦定理を用いて辺の長さを三角関数で表現するアプローチが基本となる。 (1) では $\text{PA} + \text{PB} = \text{PC}$ という美しい関係式が背後にあり、トレミーの定理を知っていれば計算をショートカットできる。 (2) は三角関数の計算問題である。2乗の和は半角の公式で次数を下げ、和を積に直す公式や加法定理を正しく運用すれば、$\theta$ に依存せず定数となることが証明できる。