数学2 数2解の個数･三角関数問題 3 解説

方針・初手

三角関数を含む方程式の解の個数を求める典型的な問題である。 (1) では三角関数の合成を用いて $t$ のとりうる値の範囲を求める。 (2) では対称式の変形を用いて、$f(\theta)$ を $t$ の多項式として表す。 (3) では $f(\theta) = k$ を $t$ の方程式に帰着させるが、$t$ の値1つに対して $\theta$ の値がいくつ対応するか（解の個数の対応関係）を慎重に調べる必要がある。

解法1

(1)

$t = \cos\theta - \sin\theta$ を三角関数の合成を用いて変形する。

$$t = \sqrt{2} \left( \cos\theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin\theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2}\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ より、角度 $\theta + \frac{\pi}{4}$ のとりうる範囲は以下のようになる。

$$\frac{\pi}{4} \leqq \theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{5}{4}\pi$$

この範囲において、$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ は $\theta + \frac{\pi}{4} = \pi$ のとき最小値 $-1$ をとり、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ のとき最大値 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ をとる。

$$-1 \leqq \cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$$

各辺に $\sqrt{2}$ を掛けて、$t$ のとりうる値の範囲を得る。

$$-\sqrt{2} \leqq t \leqq 1$$

(2)

$t = \cos\theta - \sin\theta$ の両辺を2乗する。

$$t^2 = (\cos\theta - \sin\theta)^2 = \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$$

これより、$\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表すことができる。

$$\sin\theta\cos\theta = \frac{1 - t^2}{2}$$

次に、$f(\theta)$ の式を因数分解し、$t$ と $\sin\theta\cos\theta$ を代入する。

$$\begin{aligned} f(\theta) &= 2(\cos^3\theta - \sin^3\theta) \\ &= 2(\cos\theta - \sin\theta)(\cos^2\theta + \cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta) \\ &= 2t(1 + \sin\theta\cos\theta) \\ &= 2t \left( 1 + \frac{1 - t^2}{2} \right) \\ &= 2t \left( \frac{3 - t^2}{2} \right) \\ &= -t^3 + 3t \end{aligned}$$

(3)

(2) より方程式 $f(\theta) = k$ は $-t^3 + 3t = k$ となる。 $g(t) = -t^3 + 3t \ (-\sqrt{2} \leqq t \leqq 1)$ とおき、曲線 $y = g(t)$ と直線 $y = k$ の共有点について考える。

まず、$t$ の値一つに対して、対応する $\theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$ が何個存在するかを調べる。 $\alpha = \theta + \frac{\pi}{4}$ とおくと、$\frac{\pi}{4} \leqq \alpha \leqq \frac{5}{4}\pi$ であり、$t = \sqrt{2}\cos\alpha$ すなわち $\cos\alpha = \frac{t}{\sqrt{2}}$ である。単位円上の $x$ 座標が $\frac{t}{\sqrt{2}}$ となる点をこの角度範囲で考えると、$\theta$ の個数は次のようになる。

$\frac{t}{\sqrt{2}} = -1$ すなわち $t = -\sqrt{2}$ のとき $\alpha = \pi$ の 1個。したがって $\theta$ も 1個。
$-1 < \frac{t}{\sqrt{2}} \leqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$ すなわち $-\sqrt{2} < t \leqq -1$ のとき 条件を満たす $\alpha$ は 2個存在する。したがって $\theta$ も 2個。
$-\frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{t}{\sqrt{2}} \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$ すなわち $-1 < t \leqq 1$ のとき 条件を満たす $\alpha$ は 1個存在する。したがって $\theta$ も 1個。

次に、$g(t)$ の増減を調べる。 $g'(t) = -3t^2 + 3 = -3(t + 1)(t - 1)$ であり、$g'(t) = 0$ となるのは $t = \pm 1$ のときである。 $-\sqrt{2} \leqq t \leqq 1$ における増減表は以下のようになる。

$t$	$-\sqrt{2}$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$
$g'(t)$		$-$	$0$	$+$	$0$
$g(t)$	$-\sqrt{2}$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$2$

曲線 $y = g(t)$ と直線 $y = k$ の共有点の $t$ 座標から、対応する $\theta$ の個数を足し合わせていく。

(i) $k > 2$ または $k < -2$ のとき 共有点は存在しないため、$\theta$ は 0個。

(ii) $k = 2$ のとき 共有点は $t = 1$ のみ。$t=1$ に対応する $\theta$ は 1個なので、$\theta$ は 1個。

(iii) $-\sqrt{2} < k < 2$ のとき 共有点は区間 $-1 < t < 1$ に1つのみ存在する。この範囲の $t$ に対応する $\theta$ は 1個なので、$\theta$ は 1個。

(iv) $k = -\sqrt{2}$ のとき 共有点は $t = -\sqrt{2}$ と、区間 $-1 < t < 1$ に1つ存在する。それぞれに対応する $\theta$ は 1個ずつなので、$\theta$ は $1 + 1 = $ 2個。

(v) $-2 < k < -\sqrt{2}$ のとき 共有点は区間 $-\sqrt{2} < t < -1$ に1つ、区間 $-1 < t < 1$ に1つ存在する。前者は $\theta$ 2個、後者は $\theta$ 1個に対応するので、$\theta$ は $2 + 1 = $ 3個。

(vi) $k = -2$ のとき 共有点は $t = -1$ のみ存在する。$t = -1$ に対応する $\theta$ は 2個なので、$\theta$ は 2個。

以上を整理してまとめる。

解説

変数の置き換えによって方程式の実数解の個数を求める、頻出のテーマである。この問題の最大の罠は、$t$ と $\theta$ の個数が必ずしも1対1に対応しない点にある。一般に、変数を置き換えた際は「元の変数との対応関係」を必ず確認する癖をつけたい。単位円やグラフを用いて、どの $t$ の範囲で $\theta$ が何個存在するかの「重み」を正確に把握できれば、あとは増減表とグラフから視覚的に処理できる。