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大阪大学 2021年理系第5問解説

方針・初手

(1) 与えられた方程式を $f(x) = a$ の形に帰着させ、関数 $f(x)$ の定義域における増減を導関数を用いて調べる。単調性と両端の極限から、中間値の定理を用いて実数解の存在と一意性を示す。

(2) 曲線 $C: y = \sin x$ 上の2点 $P(t, \sin t)$ と $Q(s, \sin s)$ における接線が一致する条件を立式する。傾きと $y$ 切片がそれぞれ等しいという条件から三角方程式を解き、$s \geqq \frac{\pi}{2}$ の条件から現れる整数パラメータの範囲を絞り込む。

解法1

(1) 関数 $f(x) = x - \tan x$ とおき、$|x| < \frac{\pi}{2}$ の範囲における増減を調べる。 $f(x)$ を微分すると、

$$ f'(x) = 1 - \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} = -\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = -\tan^2 x $$

となる。 $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ において、$f'(x) \leqq 0$ であり、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のみであるから、$f(x)$ はこの区間で単調に減少する。また、区間の両端における極限を求めると、

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}+0} f(x) &= \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}+0} (x - \tan x) = \infty \\ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} f(x) &= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} (x - \tan x) = -\infty \end{aligned} $$

となる。関数 $f(x)$ は区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ で連続かつ単調減少であり、その値域は実数全体である。したがって、任意の実数 $a$ に対して、方程式 $f(x) = a$ は区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ においてちょうど1個の実数解をもつ。（証明終わり）

(2) 点 $P(t, \sin t)$ における曲線 $C: y = \sin x$ の接線を $\ell_1$ とする。 $y' = \cos x$ より、接線 $\ell_1$ の方程式は

$$ y - \sin t = \cos t \cdot (x - t) $$

$$ y = (\cos t)x + \sin t - t \cos t $$

となる。接線 $\ell_1$ が $x \geqq \frac{\pi}{2}$ の領域にある曲線 $C$ 上の点 $Q(s, \sin s)$（$s \geqq \frac{\pi}{2}$）においても $C$ に接するとする。点 $Q$ における接線 $\ell_2$ の方程式は同様に

$$ y = (\cos s)x + \sin s - s \cos s $$

となる。$\ell_1$ と $\ell_2$ が同一の直線を表すための必要十分条件は、傾きと $y$ 切片がそれぞれ等しいことである。すなわち、

$$ \cos t = \cos s $$

$$ \sin t - t \cos t = \sin s - s \cos s $$

が同時に成り立つことである。第1式 $\cos t = \cos s$ より、$k$ を整数として、

$$ s = 2k\pi + t \quad \text{または} \quad s = 2k\pi - t $$

と表される。それぞれの場合について第2式を検討する。

(i)

$s = 2k\pi + t$ のとき第2式の右辺に代入すると

$$ \begin{aligned} \sin t - t \cos t &= \sin(2k\pi + t) - (2k\pi + t) \cos(2k\pi + t) \\ \sin t - t \cos t &= \sin t - 2k\pi \cos t - t \cos t \end{aligned} $$

これを整理して、

$$ 2k\pi \cos t = 0 $$

$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ より $\cos t > 0$ であるから、$k = 0$ となる。このとき $s = t$ となるが、これは $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ かつ $s \geqq \frac{\pi}{2}$ であることに矛盾する。よって不適。

(ii)

$s = 2k\pi - t$ のとき第2式の右辺に代入すると

$$ \begin{aligned} \sin t - t \cos t &= \sin(2k\pi - t) - (2k\pi - t) \cos(2k\pi - t) \\ \sin t - t \cos t &= -\sin t - 2k\pi \cos t + t \cos t \end{aligned} $$

整理して両辺を2で割ると、

$$ \sin t = (t - k\pi) \cos t $$

$\cos t > 0$ より、両辺を $\cos t$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \tan t &= t - k\pi \\ t - \tan t &= k\pi \end{aligned} $$

を得る。ここで、条件 $s \geqq \frac{\pi}{2}$ を考慮して $k$ のとりうる値を求める。 $s = 2k\pi - t$ について、$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ であるから、

$$ -\frac{\pi}{2} < -t < \frac{\pi}{2} $$

$$ 2k\pi - \frac{\pi}{2} < s < 2k\pi + \frac{\pi}{2} $$

となる。$s \geqq \frac{\pi}{2}$ を満たすためには、上限値に着目して

$$ 2k\pi + \frac{\pi}{2} > \frac{\pi}{2} $$

すなわち $k > 0$ でなければならない。$k$ は整数であるから、$k \geqq 1$ を満たす自然数である。逆に、$k$ が自然数のとき、下限値に着目すると

$$ s > 2k\pi - \frac{\pi}{2} \geqq 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3}{2}\pi > \frac{\pi}{2} $$

となり、条件 $s \geqq \frac{\pi}{2}$ を満たす。以上より、求める必要十分条件は、ある自然数 $n$（ここでは $n=k$）が存在して、

$$ t - \tan t = n\pi $$

を満たすことである。 (1) の結果より、各自然数 $n$ に対してこの方程式を満たす区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ の実数 $t$ はただ1つ存在し、問題文で与えられた定義よりそれは $x_n$ にほかならない。したがって、$t$ が $x_1, x_2, x_3, \cdots$ のいずれかと等しいことが示された。（証明終わり）

解説

関数のグラフが自分自身と共通の接線をもつ（二重接線）ための条件を求める標準的な問題である。 2点における接線の方程式をそれぞれ立式し、傾きと $y$ 切片の係数を比較するという定石通りの処理で解決できる。三角方程式 $\cos t = \cos s$ を解く際、一般解を用いて場合分けを行い、片方が範囲の条件に合わないことを示す流れがポイントとなる。また、問題文で与えられた範囲から、現れた整数パラメータが自然数に限定されることを不等式を用いて丁寧に論証することが重要である。