数学2 数2解の個数･三角関数問題 4 解説

方針・初手

倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を用いて、$f(\theta)$ を $\sin\theta$ のみの式で表す。 $x = \sin\theta$ と置換することで、$f(\theta)$ を $x$ の3次関数として扱うことができる。 $\theta$ の定義域から $x$ のとりうる値の範囲を求め、微積分を用いて関数の増減を調べグラフの概形を把握する。

解法1

(1)

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ であるから、$f(\theta)$ は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} f(\theta) &= 4(1 - 2\sin^2\theta)\sin\theta + 3\sqrt{2}(1 - 2\sin^2\theta) - 4\sin\theta \\ &= 4\sin\theta - 8\sin^3\theta + 3\sqrt{2} - 6\sqrt{2}\sin^2\theta - 4\sin\theta \\ &= -8\sin^3\theta - 6\sqrt{2}\sin^2\theta + 3\sqrt{2} \end{aligned}$$

ここで $x = \sin\theta$ とおくと、$f(\theta)$ は以下のように表される。

$$-8x^3 - 6\sqrt{2}x^2 + 3\sqrt{2}$$

(2)

(1) で求めた $x$ の関数を $g(x)$ とおく。 $-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$x = \sin\theta$ は単調増加であり、その値域は $-1 \leqq x \leqq 1$ である。

$g(x) = -8x^3 - 6\sqrt{2}x^2 + 3\sqrt{2}$ について導関数を求めると、

$$\begin{aligned} g'(x) &= -24x^2 - 12\sqrt{2}x \\ &= -12x(2x + \sqrt{2}) \end{aligned}$$

$g'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 0, -\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。 $-1 \leqq x \leqq 1$ における $g(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$-1$	$\cdots$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$
$g'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$g(x)$	$8-3\sqrt{2}$	$\searrow$	$2\sqrt{2}$	$\nearrow$	$3\sqrt{2}$	$\searrow$	$-8-3\sqrt{2}$

ここで、極大値 $3\sqrt{2}$ と $x = -1$ での値 $8-3\sqrt{2}$ の大小を比較する。

$$3\sqrt{2} - (8 - 3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} - 8 = \sqrt{72} - \sqrt{64} > 0$$

よって、$3\sqrt{2} > 8 - 3\sqrt{2}$ であるから、最大値は $x = 0$ のとき $3\sqrt{2}$ となる。また、極小値 $2\sqrt{2}$ と $x = 1$ での値 $-8-3\sqrt{2}$ の大小については、明らかに $2\sqrt{2} > -8-3\sqrt{2}$ であるから、最小値は $x = 1$ のとき $-8-3\sqrt{2}$ となる。

$x = \sin\theta$ かつ $-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ より、 $x = 0$ のとき $\theta = 0$ $x = 1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$

したがって、 $\theta = 0$ のとき、最大値 $3\sqrt{2}$ $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、最小値 $-8-3\sqrt{2}$

(3)

方程式 $f(\theta) = k$ が相異なる3つの解をもつ条件を考える。 $-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$x = \sin\theta$ は $\theta$ と $x$ が $1$ 対 $1$ に対応する。したがって、$f(\theta) = k$ が相異なる3つの解をもつことは、$x$ についての方程式 $g(x) = k$ が $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲で相異なる3つの実数解をもつことと同値である。

これは、$xy$ 平面において、曲線 $y = g(x)$ ($-1 \leqq x \leqq 1$) と直線 $y = k$ が相異なる3つの交点をもつ条件に帰着される。

(2) の増減表をもとにグラフの概形を描くと、曲線 $y = g(x)$ は点 $(-1, 8-3\sqrt{2})$ から出発し、極小点 $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2})$ まで下がり、極大点 $(0, 3\sqrt{2})$ まで上がり、最後に点 $(1, -8-3\sqrt{2})$ まで下がる形となる。

このとき、左端の点の $y$ 座標 $8-3\sqrt{2}$ と極小値 $2\sqrt{2}$ の大小関係を確認する。

$$(8 - 3\sqrt{2}) - 2\sqrt{2} = 8 - 5\sqrt{2} = \sqrt{64} - \sqrt{50} > 0$$

よって、$8-3\sqrt{2} > 2\sqrt{2}$ である。したがって、曲線 $y = g(x)$ と直線 $y = k$ が相異なる3つの交点をもつような $k$ の値の範囲は、極小値よりも大きく、左端の $y$ 座標以下となる範囲である。

$$2\sqrt{2} < k \leqq 8 - 3\sqrt{2}$$

解説

三角関数の複雑な式を一つの変数（ここでは $\sin\theta$）に統一することで、多項式の微分の問題に帰着させる典型的な問題である。 (3) では、$x$ と $\theta$ の対応関係に注意が必要である。$-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲では $\sin\theta$ は単調増加であるため、$x$ の解の個数と $\theta$ の解の個数が完全に一致する。もし定義域が $0 \leqq \theta < 2\pi$ などであった場合は、$1$ つの $x$ に対して複数の $\theta$ が対応することがあるため、解の個数のカウントにより慎重になる必要がある。端点での等号の有無（$k = 8-3\sqrt{2}$ が範囲に含まれるか否か）は、グラフを描いて視覚的に確認することでミスを防ぐことができる。