数学2 数2解の個数･三角関数問題 5 解説

方針・初手

(1)は $t$ の式を両辺2乗することで $\sin\theta\cos\theta$ を表現する典型的な処理である． (2)は三角関数の合成を用いて $t$ の関数を一つのサイン関数にまとめ，定義域に注意して取りうる値の範囲を求める． (3)は(1)の結果を用いて，与えられた $\theta$ の方程式を $t$ の方程式に帰着させる．ここで最も重要なのは「$t$ の値1つに対して $\theta$ がいくつ存在するか」という対応関係を正確に把握することである．$t$ の値の範囲によって対応する $\theta$ の個数が異なる点に注意して解の個数を調べる．

解法1

(1) $t = \sin\theta + \cos\theta$ の両辺を2乗すると，

$$t^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2$$

$$t^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから，

$$t^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$$

よって，$\sin\theta\cos\theta$ について解くと，

$$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}$$

(2) $t = \sin\theta + \cos\theta$ を三角関数の合成を用いて変形すると，

$$t = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ であるから，$\theta + \frac{\pi}{4}$ のとりうる値の範囲は，

$$\frac{\pi}{4} \leqq \theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{5}{4}\pi$$

この範囲において，$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ がとりうる値の範囲は，

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$$

各辺に $\sqrt{2}$ を掛けて，

$$-1 \leqq \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq \sqrt{2}$$

したがって，$t$ の取りうる値の範囲は，

$$-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$$

(3) 与えられた方程式は $2\sin\theta\cos\theta - 2(\sin\theta+\cos\theta) - k = 0$ である．これに $t = \sin\theta + \cos\theta$ と (1) の結果を代入すると，

$$2 \cdot \frac{t^2 - 1}{2} - 2t - k = 0$$

整理すると，

$$t^2 - 2t - 1 = k$$

この方程式の実数解の個数は，(2) の範囲 $-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$ における放物線 $y = t^2 - 2t - 1$ と直線 $y = k$ の共有点の $t$ 座標を調べ，その $t$ に対する $\theta$ の個数を数えることで求められる．

まず，$t$ の値に対する $\theta$ の個数を調べる． $X = \theta + \frac{\pi}{4}$ とおくと，$t = \sqrt{2}\sin X$ であり，$X$ の定義域は $\frac{\pi}{4} \leqq X \leqq \frac{5}{4}\pi$ である．単位円周上で $Y = \frac{t}{\sqrt{2}}$ となる $X$ の個数から $\theta$ の個数を考えると，以下のようになる．

$t = \sqrt{2}$ のとき，$\sin X = 1$ となるのは $X = \frac{\pi}{2}$ の1個のみ．よって対応する $\theta$ は1個．
$1 \leqq t < \sqrt{2}$ のとき，$\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \sin X < 1$ となる $X$ は $\frac{\pi}{4} \leqq X < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{\pi}{2} < X \leqq \frac{3}{4}\pi$ の範囲に2個存在する．よって対応する $\theta$ は2個．
$-1 \leqq t < 1$ のとき，$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \sin X < \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $X$ は $\frac{3}{4}\pi < X \leqq \frac{5}{4}\pi$ の範囲に1個のみ存在する．よって対応する $\theta$ は1個．

次に，$f(t) = t^2 - 2t - 1$ とおく．与えられた3つの $k$ の値について，$f(t) = k$ を満たす $t$ を求める．

(i) $k = 1$ の場合 $t^2 - 2t - 1 = 1$ より，

$$t^2 - 2t - 2 = 0$$

これを解くと，$t = 1 \pm \sqrt{3}$ となる．ここで，$\sqrt{3} \approx 1.732$ であるから，$1 - \sqrt{3} \approx -0.732$，$1 + \sqrt{3} \approx 2.732$ である． $-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$ の範囲にあるのは $t = 1 - \sqrt{3}$ のみである．さらに，$-1 \leqq 1 - \sqrt{3} < 1$ を満たすため，この $t$ に対応する $\theta$ の個数は1個である．したがって，解の個数は1個．

(ii) $k = 1 - 2\sqrt{2}$ の場合 $t^2 - 2t - 1 = 1 - 2\sqrt{2}$ より，

$$t^2 - 2t - 2 + 2\sqrt{2} = 0$$

$t = \sqrt{2}$ を代入すると $(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} - 2 + 2\sqrt{2} = 2 - 2 = 0$ となり成立するため，左辺は $(t - \sqrt{2})$ を因数にもつ．

$$(t - \sqrt{2})(t - (2 - \sqrt{2})) = 0$$

よって，$t = \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$ である．これらはともに $-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$ の範囲にある（$2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586$ より）．

$t = \sqrt{2}$ に対応する $\theta$ は1個．
$t = 2 - \sqrt{2}$ は $-1 \leqq t < 1$ を満たすため，対応する $\theta$ は1個．したがって，解の個数は $1 + 1 = 2$ 個．

(iii) $k = -1.9$ の場合 $t^2 - 2t - 1 = -1.9$ より，

$$t^2 - 2t + 0.9 = 0$$

$$(t - 1)^2 = 0.1$$

よって，$t = 1 \pm \sqrt{0.1}$ である． $0 < \sqrt{0.1} < 1$ であるから，これら2つの解はともに正である．

$t = 1 - \sqrt{0.1}$ については，$-1 \leqq t < 1$ を満たすため，対応する $\theta$ は1個．
$t = 1 + \sqrt{0.1}$ については，$\sqrt{0.1} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ であり，$3 < \sqrt{10} < 4$ より $0.3 < \sqrt{0.1} < 0.4$ である．また $\sqrt{2} \approx 1.414$ であるから，$1 \leqq 1 + \sqrt{0.1} < \sqrt{2}$ を満たす．この範囲の $t$ に対応する $\theta$ は2個である．したがって，解の個数は $1 + 2 = 3$ 個．

解説

三角関数の方程式・不等式において，$\sin\theta + \cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が混在している場合は，和を $t$ とおいて積を $t$ で表すのが定石である．本問における最大のポイントは，置換した変数 $t$ と元の変数 $\theta$ の対応関係（1対1ではないこと）を正確に調べることである．$t$ の範囲だけを求めて $t$ の方程式の解の個数を数えても，それがそのまま $\theta$ の方程式の解の個数にはならないことに注意が必要である．