数学2 数2解の個数･三角関数問題 7 解説

方針・初手

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いて、与えられた方程式を $\cos x$ のみに依存する形に変形する。その後、$\cos x = t$ とおき、定数 $a$ を分離した $a = f(t)$ の形に持ち込んで、$y = f(t)$ のグラフと直線 $y = a$ の共有点を考える。このとき、$t$ の値に対して元の変数 $x$ がいくつ対応するかに注意して場合分けを行う。

解法1

方程式 $\sin^2 x + 3 \cos^2 x - 2 \cos x - a = 0$ において、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を代入すると

$$(1 - \cos^2 x) + 3 \cos^2 x - 2 \cos x - a = 0$$

整理して定数 $a$ を分離すると

$$2 \cos^2 x - 2 \cos x + 1 = a$$

ここで、$\cos x = t$ とおく。 $-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$ であるから、$t$ のとりうる値の範囲は

$$-1 \leqq t \leqq 1$$

である。また、$t$ の値に対して、方程式 $\cos x = t$ （$-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$）を満たす実数解 $x$ の個数は、次のように分類される。

$0 \leqq t < 1$ のとき、$2$ 個（$-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq 0$ に $1$ つ、$0 < x \leqq \frac{\pi}{2}$ に $1$ つ。ただし $t=0$ のときは $x = \pm \frac{\pi}{2}$）
$t = 1, \ -1 \leqq t < 0$ のとき、$1$ 個（$t=1$ のときは $x = 0$。$-1 \leqq t < 0$ のときは $\frac{\pi}{2} < x \leqq \pi$ に $1$ つ）

与えられた方程式の実数解の個数は、$t$ の関数 $f(t) = 2t^2 - 2t + 1 \ (-1 \leqq t \leqq 1)$ のグラフと、直線 $y = a$ の共有点の $t$ 座標に対応する $x$ の個数の総和に等しい。

$$f(t) = 2 \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2}$$

$y = f(t)$ のグラフは、頂点が $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ で下に凸の放物線の一部である。定義域の端点および対応の個数が変わる境界での値は

$$f(-1) = 2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 5$$

$$f(0) = 1$$

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$$

$$f(1) = 2(1)^2 - 2(1) + 1 = 1$$

直線 $y = a$ を上下に動かして、$y = f(t)$ のグラフとの共有点の $t$ 座標の範囲から $x$ の個数を調べる。

(i) $a < \frac{1}{2}, \ 5 < a$ のとき共有点は存在しない。したがって、解は $0$ 個。

(ii) $a = \frac{1}{2}$ のとき $t = \frac{1}{2}$ でただ $1$ つの共有点をもつ。 $t = \frac{1}{2}$ は $0 \leqq t < 1$ を満たすので、対応する $x$ は $2$ 個。

(iii) $\frac{1}{2} < a < 1$ のとき共有点の $t$ 座標は、$0 < t < \frac{1}{2}$ と $\frac{1}{2} < t < 1$ に $1$ つずつ存在する。どちらも $0 \leqq t < 1$ を満たすので、それぞれに対して $x$ は $2$ 個ずつ存在する。したがって、解の個数は $2 + 2 = 4$ 個。

(iv) $a = 1$ のとき共有点の $t$ 座標は $t = 0, 1$ の $2$ つ。 $t = 0$ に対応する $x$ は $2$ 個、$t = 1$ に対応する $x$ は $1$ 個。したがって、解の個数は $2 + 1 = 3$ 個。

(v) $1 < a \leqq 5$ のとき共有点の $t$ 座標は $-1 \leqq t < 0$ にただ $1$ つ存在する。 $-1 \leqq t < 0$ に対応する $x$ は $1$ 個。したがって、解の個数は $1$ 個。

解説

三角方程式の解の個数を定数分離によって求める典型問題である。置換した変数 $t$ の2次方程式としての解の個数と、元の変数 $x$ の解の個数が一対一に対応しないことに注意が必要である。$-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$ という与えられた定義域において、各 $t$ の値に対して $x$ がいくつ存在するか（単位円を描いて確認するとよい）を正確に把握し、場合分けに反映させることが最大のポイントとなる。