数学2 面積・接線 問題 39 解説

方針・初手

与えられた関数の絶対値記号を外すため、絶対値の中身の正負によって場合分けを行う。グラフの概形を描き、直線 $y=x$ との交点の $x$ 座標を求めることで、上下関係と積分区間を決定する。その後は区間ごとに定積分を計算して面積を求める。

解法1

$f(x) = \left| \frac{3}{4}x^2 - 3 \right| - 2$ とおく。絶対値記号の中身について、$\frac{3}{4}x^2 - 3 = \frac{3}{4}(x-2)(x+2)$ であるから、次のように場合分けできる。

(i) $x \le -2, \ 2 \le x$ のとき

$\frac{3}{4}x^2 - 3 \ge 0$ であるから、

$$f(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3 - 2 = \frac{3}{4}x^2 - 5$$

(ii) $-2 < x < 2$ のとき

$\frac{3}{4}x^2 - 3 < 0$ であるから、

$$f(x) = -\left(\frac{3}{4}x^2 - 3\right) - 2 = -\frac{3}{4}x^2 + 1$$

次に、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = x$ の交点の $x$ 座標を求める。

(i) の範囲において

$$\frac{3}{4}x^2 - 5 = x$$

$$3x^2 - 4x - 20 = 0$$

$$(3x - 10)(x + 2) = 0$$

$x = -2, \ \frac{10}{3}$ となり、これらはともに $x \le -2, \ 2 \le x$ を満たす。

(ii) の範囲において

$$-\frac{3}{4}x^2 + 1 = x$$

$$3x^2 + 4x - 4 = 0$$

$$(3x - 2)(x + 2) = 0$$

$x = -2, \ \frac{2}{3}$ となり、$-2 < x < 2$ の範囲を満たすのは $x = \frac{2}{3}$ である。（$x = -2$ は境界で一致する）

以上より、2つのグラフの交点の $x$ 座標は $-2, \ \frac{2}{3}, \ \frac{10}{3}$ である。

各区間におけるグラフの上下関係を調べる。

$-2 \le x \le \frac{2}{3}$ では、$f(x) - x = -\frac{3}{4}x^2 - x + 1 = -\frac{3}{4}(x+2)\left(x-\frac{2}{3}\right) \ge 0$ より $f(x) \ge x$

$\frac{2}{3} \le x \le 2$ では、$x - f(x) = \frac{3}{4}x^2 + x - 1 = \frac{3}{4}(x+2)\left(x-\frac{2}{3}\right) \ge 0$ より $x \ge f(x)$

$2 \le x \le \frac{10}{3}$ では、$x - f(x) = -\frac{3}{4}x^2 + x + 5 = -\frac{3}{4}(x+2)\left(x-\frac{10}{3}\right) \ge 0$ より $x \ge f(x)$

したがって、求める面積 $S$ は次のように立式できる。

$$S = \int_{-2}^{\frac{2}{3}} \left( -\frac{3}{4}x^2 - x + 1 \right) dx + \int_{\frac{2}{3}}^{2} \left( \frac{3}{4}x^2 + x - 1 \right) dx + \int_{2}^{\frac{10}{3}} \left( -\frac{3}{4}x^2 + x + 5 \right) dx$$

それぞれの定積分を計算する。第1項は $\frac{1}{6}$ 公式を利用できる。

第1項：

$$\int_{-2}^{\frac{2}{3}} -\frac{3}{4}(x+2)\left(x-\frac{2}{3}\right) dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} \left( \frac{2}{3} - (-2) \right)^3 = \frac{1}{8} \left( \frac{8}{3} \right)^3 = \frac{512}{216} = \frac{64}{27}$$

第2項：

$$\begin{aligned} \int_{\frac{2}{3}}^{2} \left( \frac{3}{4}x^2 + x - 1 \right) dx &= \left[ \frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x \right]_{\frac{2}{3}}^{2} \\ &= \left( \frac{8}{4} + \frac{4}{2} - 2 \right) - \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{27} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} - \frac{2}{3} \right) \\ &= 2 - \left( \frac{2}{27} + \frac{6}{27} - \frac{18}{27} \right) \\ &= 2 + \frac{10}{27} = \frac{64}{27} \end{aligned}$$

第3項：

$$\begin{aligned} \int_{2}^{\frac{10}{3}} \left( -\frac{3}{4}x^2 + x + 5 \right) dx &= \left[ -\frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 5x \right]_{2}^{\frac{10}{3}} \\ &= \left( -\frac{1}{4} \cdot \frac{1000}{27} + \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{9} + \frac{50}{3} \right) - \left( -\frac{8}{4} + \frac{4}{2} + 10 \right) \\ &= \left( -\frac{250}{27} + \frac{150}{27} + \frac{450}{27} \right) - 10 \\ &= \frac{350}{27} - \frac{270}{27} = \frac{80}{27} \end{aligned}$$

よって、求める面積 $S$ は

$$S = \frac{64}{27} + \frac{64}{27} + \frac{80}{27} = \frac{208}{27}$$

解説

絶対値を含む関数の定積分を求める典型問題である。交点を正確に求め、積分区間を分割して計算する基本的な方針が最も確実である。被積分関数が変わる境界（本問では $x = \pm 2$）と、2つのグラフの交点（本問では $x = -2, \ \frac{2}{3}, \ \frac{10}{3}$）を混同しないように整理することが重要である。また、定積分の一部では $\frac{1}{6}$ 公式を利用することで計算量を減らし、計算ミスを防ぐことができる。

答え

$$\frac{208}{27}$$