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京都大学 2018年文系第1問解説

方針・初手

$C_1$ と $C_2$ が $(x_0, y_0)$ で接するという条件から、未知数 $a$ と接点の $x$ 座標 $x_0$ を決定します。$C_1$ の式は絶対値を含むため、$x_0$ のとり得る値の範囲による場合分けが必要です。その後、2曲線の共有点をすべて求め、積分区間におけるグラフの上下関係を把握して定積分により面積を計算します。

解法1

$f(x) = |x^2 - 1|$、$g(x) = x^2 - 2ax + 2$ とおく。点 $(x_0, y_0)$ は $C_1, C_2$ の共有点であり、ここで共通の接線をもつことから、$x = x_0$ において $f(x)$ と $g(x)$ は微分可能であり、

$$ f(x_0) = g(x_0), \qquad f'(x_0) = g'(x_0) $$

が成り立つ。問題の条件より $|x_0| \neq 1$ であるから、以下の2つの場合が考えられる。

(i) $x_0 < -1$ または $1 < x_0$ のとき

この範囲では $f(x) = x^2 - 1$ であり、$f'(x) = 2x$。共通接線をもつ条件は

$$ x_0^2 - 1 = x_0^2 - 2ax_0 + 2 \quad \cdots ① $$

$$ 2x_0 = 2x_0 - 2a \quad \cdots ② $$

第2式より $-2a = 0$ すなわち $a = 0$ となるが、これは $a$ が正の実数であることに反するため不適である。

(ii) $-1 < x_0 < 1$ のとき

この範囲では $f(x) = -x^2 + 1$ であり、$f'(x) = -2x$。共通接線をもつ条件は

$$ -x_0^2 + 1 = x_0^2 - 2ax_0 + 2 \quad \cdots ① $$

$$ -2x_0 = 2x_0 - 2a \quad \cdots ② $$

②より $4x_0 = 2a$ すなわち $x_0 = \dfrac{a}{2}$。これを①に代入して、

$$ -2\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 2a \cdot \frac{a}{2} - 1 = 0 $$

$$ -\frac{a^2}{2} + a^2 - 1 = 0 \implies \frac{a^2}{2} = 1 \implies a^2 = 2 $$

$a > 0$ より $a = \sqrt{2}$。このとき $x_0 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となり、条件 $-1 < x_0 < 1$ を満たす。

以上より、$a = \sqrt{2}$ である。このとき、$C_2$ の方程式は $y = x^2 - 2\sqrt{2}\,x + 2$ となる。

次に、$C_1$ と $C_2$ の共有点の $x$ 座標を求める。

$-1 \leqq x \leqq 1$ のとき

$$ -x^2 + 1 = x^2 - 2\sqrt{2}\,x + 2 \implies 2x^2 - 2\sqrt{2}\,x + 1 = 0 $$

判別式 $D = 8 - 8 = 0$ であるから、$x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$（接点）の1点のみ。

$x < -1$ または $x > 1$ のとき

$$ x^2 - 1 = x^2 - 2\sqrt{2}\,x + 2 \implies 2\sqrt{2}\,x = 3 \implies x = \frac{3\sqrt{2}}{4} $$

$\dfrac{3\sqrt{2}}{4} = \sqrt{\dfrac{9}{8}} > 1$ であるから、これは $x > 1$ の条件を満たす共有点である。

したがって、2曲線の共有点の $x$ 座標は $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$ となる。

求める面積 $S$ は区間 $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq x \leqq \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$ における $C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分である。この区間内で $x = 1$ を境に $C_1$ の式が変わるため、積分区間を分けて上下関係を調べる。

$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq x \leqq 1$ において

$$ g(x) - f(x) = (x^2 - 2\sqrt{2}\,x + 2) - (-x^2 + 1) = 2x^2 - 2\sqrt{2}\,x + 1 = 2\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \geqq 0 $$

$1 \leqq x \leqq \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$ において

$$ g(x) - f(x) = (x^2 - 2\sqrt{2}\,x + 2) - (x^2 - 1) = -2\sqrt{2}\,x + 3 $$

$x \leqq \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$ のとき $-2\sqrt{2}\,x + 3 \geqq 0$ である。

よって、全区間において $C_2$ が $C_1$ の上側にある。求める面積 $S$ は、

$$ S = \int_{\sqrt{2}/2}^{1} 2\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 dx + \int_{1}^{3\sqrt{2}/4} (-2\sqrt{2}\,x + 3)\,dx $$

それぞれの定積分を計算する。

$$ \int_{\sqrt{2}/2}^{1} 2\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 dx = \left[\frac{2}{3}\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3\right]_{\sqrt{2}/2}^{1} = \frac{2}{3}\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{(2-\sqrt{2})^3}{12} $$

$(2-\sqrt{2})^3 = (6-4\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) = 20 - 14\sqrt{2}$ であるから、

$$ \int_{\sqrt{2}/2}^{1} 2\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 dx = \frac{20-14\sqrt{2}}{12} = \frac{10-7\sqrt{2}}{6} $$

$$ \int_{1}^{3\sqrt{2}/4} (-2\sqrt{2}\,x + 3)\,dx = \Big[-\sqrt{2}\,x^2 + 3x\Big]_{1}^{3\sqrt{2}/4} = \frac{9\sqrt{2}}{8} - (3 - \sqrt{2}) = \frac{17\sqrt{2}}{8} - 3 = \frac{17\sqrt{2}-24}{8} $$

ゆえに、

$$ S = \frac{10-7\sqrt{2}}{6} + \frac{17\sqrt{2}-24}{8} = \frac{4(10-7\sqrt{2}) + 3(17\sqrt{2}-24)}{24} = \frac{40 - 28\sqrt{2} + 51\sqrt{2} - 72}{24} = \frac{23\sqrt{2}-32}{24} $$

解説

絶対値を含む関数の微分が絡む問題ですが、$|x_0| \neq 1$ という条件が与えられているため、関数の折れ曲がる点（微分不可能な点）での議論を避けて、絶対値を外した上で「共通接線をもつ条件」を立式できます。

後半の面積計算では、接点付近の積分について $2\left(x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$ の形になることを利用し、$\displaystyle\int (x-p)^2\,dx = \dfrac{(x-p)^3}{3} + C$ の公式を用いると計算がスムーズです。また、後半の積分 $\displaystyle\int_{1}^{3\sqrt{2}/4} (-2\sqrt{2}\,x + 3)\,dx$ は直線 $y = -2\sqrt{2}\,x + 3$ と $x$ 軸および $x = 1$ で囲まれる直角三角形の面積として図形的に計算することも可能です。