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京都大学 2022年文系第3問解説

方針・初手

放物線 $C$ 上の点における接線の方程式を、接点の $x$ 座標を文字でおいて立式します。 2つの接線 $L_1, L_2$ について、「直交する（傾きの積が $-1$）」「交点の $x$ 座標が $\frac{3}{2}$ である」という2つの条件から連立方程式を作り、2つの接点の $x$ 座標を特定します。その後、放物線と2接線で囲まれる図形の面積を定積分によって計算します。

解法1

$f(x) = \frac{1}{4}x^2$ とおく。$f'(x) = \frac{1}{2}x$ である。曲線 $C$ 上の点 $(t, \frac{1}{4}t^2)$ における接線の方程式は、

$$ y - \frac{1}{4}t^2 = \frac{1}{2}t(x - t) $$

$$ y = \frac{1}{2}tx - \frac{1}{4}t^2 $$

となる。

$L_1, L_2$ はともに $C$ の接線であるから、その接点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とすると、

$$ L_1 : y = \frac{1}{2}\alpha x - \frac{1}{4}\alpha^2 $$

$$ L_2 : y = \frac{1}{2}\beta x - \frac{1}{4}\beta^2 $$

と表せる。 $L_1$ と $L_2$ の交点の $x$ 座標は、これらを連立して

$$ \frac{1}{2}\alpha x - \frac{1}{4}\alpha^2 = \frac{1}{2}\beta x - \frac{1}{4}\beta^2 $$

$$ \frac{1}{2}(\alpha - \beta)x = \frac{1}{4}(\alpha^2 - \beta^2) $$

$\alpha < \beta$ より $\alpha - \beta \neq 0$ であるから、両辺を $\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$ で割って

$$ x = \frac{\alpha + \beta}{2} $$

問題の条件より、交点の $x$ 座標は $\frac{3}{2}$ であるから、

$$ \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{3}{2} \iff \alpha + \beta = 3 \quad \cdots ① $$

また、$L_1$ と $L_2$ は直交するので、傾きの積は $-1$ である。

$$ \left(\frac{1}{2}\alpha\right) \left(\frac{1}{2}\beta\right) = -1 \iff \alpha\beta = -4 \quad \cdots ② $$

①, ②より、$\alpha, \beta$ は $t$ についての2次方程式

$$ t^2 - 3t - 4 = 0 $$

の2つの解である。

$$ (t + 1)(t - 4) = 0 $$

これを解くと $t = -1, 4$ となり、$\alpha < \beta$ より $\alpha = -1, \beta = 4$ である。交点の $x$ 座標は $\frac{3}{2}$ である。

求める面積 $S$ は、区間 $-1 \leqq x \leqq \frac{3}{2}$ において $C$ と $L_1$ で囲まれる部分と、区間 $\frac{3}{2} \leqq x \leqq 4$ において $C$ と $L_2$ で囲まれる部分の和である。

放物線から接線を引いた差は $\frac{1}{4}x^2 - \left(\frac{\alpha}{2}x - \frac{\alpha^2}{4}\right) = \frac{1}{4}(x-\alpha)^2$ と完全平方式になるので、

$$ \begin{aligned} S &= \int_{-1}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{4}(x - \alpha)^2 dx + \int_{\frac{3}{2}}^{4} \frac{1}{4}(x - \beta)^2 dx \\ &= \frac{1}{4} \int_{-1}^{\frac{3}{2}} (x + 1)^2 dx + \frac{1}{4} \int_{\frac{3}{2}}^{4} (x - 4)^2 dx \\ &= \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3}(x + 1)^3 \right]_{-1}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3}(x - 4)^3 \right]_{\frac{3}{2}}^{4} \\ &= \frac{1}{12} \left( \frac{3}{2} + 1 \right)^3 + \frac{1}{12} \left\{ 0 - \left( \frac{3}{2} - 4 \right)^3 \right\} \\ &= \frac{1}{12} \left( \frac{5}{2} \right)^3 - \frac{1}{12} \left( -\frac{5}{2} \right)^3 \\ &= \frac{1}{12} \cdot \frac{125}{8} + \frac{1}{12} \cdot \frac{125}{8} \\ &= \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{8} \\ &= \frac{125}{48} \end{aligned} $$

解説

放物線の2本の接線と放物線自身で囲まれる面積を求める典型問題です。接点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とおくと、2接線の交点の $x$ 座標は常にその中点 $\frac{\alpha + \beta}{2}$ になります。この性質と直交条件から $\alpha, \beta$ の和と積が求まり、解と係数の関係を用いて接点の座標を素早く特定することができます。面積計算においては、被積分関数が $(x-\alpha)^2, (x-\beta)^2$ と因数分解されることを利用して $\int (x-a)^2 dx = \frac{1}{3}(x-a)^3 + C$ の積分公式を適用することで、展開して積分するよりも計算量を大幅に減らすことができます。また、放物線 $y=ax^2+\cdots$ とその2接線で囲まれる図形の面積は $\frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3$ （いわゆる $\frac{1}{12}$ 公式）で求められることが知られており、本問にあてはめると $\frac{1/4}{12}(4 - (-1))^3 = \frac{125}{48}$ となり、検算に利用できます。