数学2 面積・接線 問題 38 解説

方針・初手

(1) $f(x)$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求め、極値を調べることで増減表を作成する。それに基づきグラフの概形を描く。

(2) 与えられた定義に従い $C'$ の方程式を求める。積分区間 $0 \leqq x \leqq 3$ における $C$ と $C'$ の上下関係を調べ、定積分を用いて面積を計算する。

(3) 方程式 $f(x) = ax$ の実数解の個数を求める問題に帰着させる。定数 $a$ を分離する方針をとり、$x \neq 0$ に注意して $a = \frac{f(x)}{x}$ と変形し、右辺の関数のグラフと直線 $y=a$ の共有点の個数を調べる。

解法1

(1)

与えられた関数は $f(x) = x^3 - 8x^2 + 20x - 16$ である。これを微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 - 16x + 20 = (3x - 10)(x - 2)$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 2, \frac{10}{3}$ のときである。これより増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 2 & \cdots & \frac{10}{3} & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 0 & \searrow & -\frac{32}{27} & \nearrow \end{array}$$

極値の計算は以下の通りである。

$$\begin{aligned} f(2) &= 2^3 - 8 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 - 16 = 8 - 32 + 40 - 16 = 0 \\ f\left(\frac{10}{3}\right) &= \left(\frac{10}{3}\right)^3 - 8 \left(\frac{10}{3}\right)^2 + 20 \left(\frac{10}{3}\right) - 16 \\ &= \frac{1000}{27} - \frac{800}{9} + \frac{200}{3} - 16 \\ &= \frac{1000 - 2400 + 1800 - 432}{27} = -\frac{32}{27} \end{aligned}$$

また、$y$ 軸との交点（$y$ 切片）は $f(0) = -16$ である。

したがって、曲線 $C$ は点 $(2, 0)$ で極大値 $0$、点 $\left(\frac{10}{3}, -\frac{32}{27}\right)$ で極小値 $-\frac{32}{27}$ をとり、$y$ 軸と点 $(0, -16)$ で交わる、右上がりの 3 次関数のグラフとなる。

(2)

曲線 $C': y = -f(-x)$ の方程式を求める。

$$\begin{aligned} -f(-x) &= -\{(-x)^3 - 8(-x)^2 + 20(-x) - 16\} \\ &= -(-x^3 - 8x^2 - 20x - 16) \\ &= x^3 + 8x^2 + 20x + 16 \end{aligned}$$

したがって、$C'$ の方程式は $y = x^3 + 8x^2 + 20x + 16$ である。 区間 $0 \leqq x \leqq 3$ における曲線 $C$ と $C'$ の上下関係を調べるため、差をとる。

$$\begin{aligned} (-f(-x)) - f(x) &= (x^3 + 8x^2 + 20x + 16) - (x^3 - 8x^2 + 20x - 16) \\ &= 16x^2 + 32 \\ &= 16(x^2 + 2) \end{aligned}$$

すべての実数 $x$ において $16(x^2 + 2) > 0$ であるから、常に曲線 $C'$ は曲線 $C$ の上側にある。 求める面積を $S$ とすると、

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{3} \{(-f(-x)) - f(x)\} dx \\ &= \int_{0}^{3} (16x^2 + 32) dx \\ &= \left[ \frac{16}{3}x^3 + 32x \right]_{0}^{3} \\ &= \frac{16}{3} \cdot 27 + 32 \cdot 3 \\ &= 144 + 96 = 240 \end{aligned}$$

(3)

直線 $y = ax$ と曲線 $C$ の共有点の個数は、方程式 $x^3 - 8x^2 + 20x - 16 = ax$ の実数解の個数に等しい。 $x = 0$ のとき、左辺は $-16$、右辺は $0$ となり等式は成り立たないため、$x \neq 0$ である。 両辺を $x$ で割ると、定数 $a$ を分離できる。

$$a = x^2 - 8x + 20 - \frac{16}{x}$$

ここで、$h(x) = x^2 - 8x + 20 - \frac{16}{x}$ とおき、関数 $y = h(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の共有点の個数を調べる。

$$\begin{aligned} h'(x) &= 2x - 8 + \frac{16}{x^2} \\ &= \frac{2x^3 - 8x^2 + 16}{x^2} \\ &= \frac{2(x^3 - 4x^2 + 8)}{x^2} \\ &= \frac{2(x - 2)(x^2 - 2x - 4)}{x^2} \end{aligned}$$

$h'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$x = 2$ および $x^2 - 2x - 4 = 0$ の解である $x = 1 \pm \sqrt{5}$ である。 $x = 1 \pm \sqrt{5}$ を $\alpha$ とおくと、$\alpha^2 - 2\alpha - 4 = 0$ を満たす。$\alpha \neq 0$ であるから、両辺を $\alpha$ で割ると $\alpha - 2 - \frac{4}{\alpha} = 0$ となり、$\frac{16}{\alpha} = 4\alpha - 8$ と変形できる。 これを用いて $h(\alpha)$ の値を次数下げによって求める。

$$\begin{aligned} h(\alpha) &= \alpha^2 - 8\alpha + 20 - (4\alpha - 8) \\ &= \alpha^2 - 12\alpha + 28 \end{aligned}$$

さらに $\alpha^2 = 2\alpha + 4$ を用いると、

$$h(\alpha) = (2\alpha + 4) - 12\alpha + 28 = -10\alpha + 32$$

これより、それぞれの極値は以下のようになる。

$$\begin{aligned} h(1 - \sqrt{5}) &= -10(1 - \sqrt{5}) + 32 = 22 + 10\sqrt{5} \\ h(2) &= 2^2 - 8 \cdot 2 + 20 - \frac{16}{2} = 4 - 16 + 20 - 8 = 0 \\ h(1 + \sqrt{5}) &= -10(1 + \sqrt{5}) + 32 = 22 - 10\sqrt{5} \end{aligned}$$

極限について調べる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} h(x) &= \infty, \quad \lim_{x \to -\infty} h(x) = \infty \\ \lim_{x \to +0} h(x) &= -\infty, \quad \lim_{x \to -0} h(x) = \infty \end{aligned}$$

$22 < \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$ であるから、$22 - 10\sqrt{5} < 0 < 22 + 10\sqrt{5}$ であることに注意して増減表を作成すると、グラフの概形から $y = h(x)$ と $y = a$ の共有点の個数がわかる。

$$\begin{array}{c|ccccccccc} x & \cdots & 1-\sqrt{5} & \cdots & (0) & \cdots & 2 & \cdots & 1+\sqrt{5} & \cdots \\ \hline h'(x) & - & 0 & + & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline h(x) & \searrow & 22+10\sqrt{5} & \nearrow & & \nearrow & 0 & \searrow & 22-10\sqrt{5} & \nearrow \end{array}$$

以上より、求める共有点の個数は以下の通りになる。

(i) $a > 22 + 10\sqrt{5}, \ 22 - 10\sqrt{5} < a < 0$ のとき、3個 (ii) $a = 22 + 10\sqrt{5}, \ 0, \ 22 - 10\sqrt{5}$ のとき、2個 (iii) $0 < a < 22 + 10\sqrt{5}, \ a < 22 - 10\sqrt{5}$ のとき、1個

解説

(2) は点対称な移動を意味する $y = -f(-x)$ の処理と、確実な積分計算が求められる。 (3) は 3 次関数と原点を通る直線の共有点の個数を問う頻出問題である。接線の本数に帰着させる解法も可能であるが、本解答のように定数 $a$ を分離して視覚的に処理する手法が、計算の煩雑さを抑えつつ見通しよく解けるため有効である。極値の計算において、方程式 $\alpha^2 - 2\alpha - 4 = 0$ を用いた次数下げを行うと計算ミスを防ぎやすい。

答え

(1) 点 $(2, 0)$ で極大値 $0$、点 $\left(\frac{10}{3}, -\frac{32}{27}\right)$ で極小値 $-\frac{32}{27}$ をとり、$y$ 軸と点 $(0, -16)$ で交わる右上がりの曲線。（図示は解説本文内の増減表と極値情報を参照）

(2) 240

(3)

$a > 22 + 10\sqrt{5}, \ 22 - 10\sqrt{5} < a < 0$ のとき、3個

$a = 22 + 10\sqrt{5}, \ 0, \ 22 - 10\sqrt{5}$ のとき、2個

$0 < a < 22 + 10\sqrt{5}, \ a < 22 - 10\sqrt{5}$ のとき、1個