トップ› 京都大学› 2013年› 文系第4問

京都大学 2013年文系第4問解説

方針・初手

(1) 「共有する」と「接線が一致する」という2つの条件をそれぞれ立式する。「点 $P$ を共有する」ことから、点 $P$ の座標を放物線の式に代入する。「接線が一致する」ことから、円 $C$ の点 $P$ における接線の傾きと、放物線の $x = \sqrt{3}$ における微分係数が等しいとおく。円の接線の傾きは、「接線は半径に垂直である」という図形的性質を用いると容易に求まる。

(2) 積分を用いて面積を計算する。グラフの上下関係を把握し、円の弧を表す関数から放物線の関数を引いて積分する。円の積分は三角関数への置換積分を行うか、図形（扇形と直角三角形）の面積を用いて計算するとよい。

解法1

(1)

点 $P(\sqrt{3}, 0)$ は放物線 $y = -\dfrac{x^2}{3} + \alpha x - \beta$ 上にあるため、代入して

$$ 0 = -\frac{(\sqrt{3})^2}{3} + \alpha\sqrt{3} - \beta = -1 + \sqrt{3}\alpha - \beta $$

よって、

$$ \beta = \sqrt{3}\alpha - 1 \quad \cdots① $$

次に、円 $C$ の中心を $A(0, 3)$ とする。直線 $AP$ の傾きは、

$$ \frac{0 - 3}{\sqrt{3} - 0} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} $$

円 $C$ の点 $P$ における接線は直線 $AP$ に垂直であるため、その接線の傾きを $m$ とすると

$$ -\sqrt{3} \cdot m = -1 \implies m = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

一方、放物線を $f(x) = -\dfrac{x^2}{3} + \alpha x - \beta$ とおくと、$f'(x) = -\dfrac{2}{3}x + \alpha$

点 $P$ における放物線の接線の傾きは $f'(\sqrt{3}) = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} + \alpha$ である。

円と放物線の接線が一致するから、傾きも等しい。

$$ -\frac{2\sqrt{3}}{3} + \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

$$ \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} $$

これを① に代入して、

$$ \beta = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1 = 3 - 1 = 2 $$

よって、$\alpha = \sqrt{3},\ \beta = 2$

(2)

(1) より、放物線の方程式は $y = -\dfrac{x^2}{3} + \sqrt{3}x - 2$ である。

円 $C$ の半径 $r$ は線分 $AP$ の長さに等しいから、

$$ r = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $$

よって円 $C$ の方程式は $x^2 + (y - 3)^2 = 12$

$0 \leqq x \leqq \sqrt{3}$ において、点 $P(\sqrt{3}, 0)$ は円の中心 $A(0, 3)$ より下にあるため、境界となる円弧は下半分の方程式で表される。

$$ y - 3 = -\sqrt{12 - x^2} \implies y = 3 - \sqrt{12 - x^2} $$

求める面積を $S$ とする。区間 $0 \leqq x \leqq \sqrt{3}$ における円弧と放物線の上下関係を調べる。

$x=0$ のとき、円弧の $y$ 座標は $3 - \sqrt{12} = 3 - 2\sqrt{3}$、放物線の $y$ 座標は $-2$ である。

$5 = \sqrt{25} > \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ より $3 - 2\sqrt{3} > -2$ であり、区間内で交差しないため、常に円弧の方が放物線より上にある。

よって、面積 $S$ は

$$ S = \int_{0}^{\sqrt{3}} \left\{ \left( 3 - \sqrt{12 - x^2} \right) - \left( -\frac{x^2}{3} + \sqrt{3}x - 2 \right) \right\} dx $$

$$ = \int_{0}^{\sqrt{3}} \left( 3 - \sqrt{12 - x^2} \right) dx - \int_{0}^{\sqrt{3}} \left( -\frac{x^2}{3} + \sqrt{3}x - 2 \right) dx $$

第1の定積分を計算する。

$$ \int_{0}^{\sqrt{3}} \left( 3 - \sqrt{12 - x^2} \right) dx = [3x]_{0}^{\sqrt{3}} - \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{12 - x^2}\, dx = 3\sqrt{3} - \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{12 - x^2}\, dx $$

ここで、$x = 2\sqrt{3}\sin\theta$ と置換すると、$dx = 2\sqrt{3}\cos\theta\, d\theta$

$x: 0 \to \sqrt{3}$ のとき $\theta: 0 \to \dfrac{\pi}{6}$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{12 - 12\sin^2\theta} \cdot 2\sqrt{3}\cos\theta\, d\theta = 12 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2\theta\, d\theta = 6 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (1 + \cos 2\theta)\, d\theta $$

$$ = 6 \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = 6 \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \pi + \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

（または図形的に、中心角 $30°$ の扇形の面積 $\pi$ と、底辺 $\sqrt{3}$・高さ $3$ の直角三角形の面積 $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ の和としても求まる。）

よって、

$$ \int_{0}^{\sqrt{3}} \left( 3 - \sqrt{12 - x^2} \right) dx = 3\sqrt{3} - \left( \pi + \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \pi $$

第2の定積分を計算する。

$$ \int_{0}^{\sqrt{3}} \left( -\frac{x^2}{3} + \sqrt{3}x - 2 \right) dx = \left[ -\frac{x^3}{9} + \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 - 2x \right]_{0}^{\sqrt{3}} $$

$$ = -\frac{3\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 - 2\sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3} $$

$$ = \sqrt{3}\left(-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2\right) = \sqrt{3}\left(\frac{-2 + 9 - 12}{6}\right) = -\frac{5\sqrt{3}}{6} $$

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S = \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} - \pi \right) - \left( -\frac{5\sqrt{3}}{6} \right) = \frac{9\sqrt{3}}{6} + \frac{5\sqrt{3}}{6} - \pi = \frac{14\sqrt{3}}{6} - \pi = \frac{7\sqrt{3}}{3} - \pi $$

解説

(1) の「円と放物線が接する」という条件を正しく立式できるかがカギとなる。放物線どうしの場合は連立して重解条件（判別式）という手もあるが、円と放物線のように異なる種類の曲線の場合は、「共有点を持つ」かつ「その点における接線の傾きが等しい」という微分を用いた定義に立ち返るのが確実である。また、円の接線の傾きは微分の計算をせずとも「半径に垂直」という幾何的性質から容易に求まる。

(2) の面積計算は、円を含む定積分 $\int \sqrt{a^2 - x^2}\, dx$ の処理がポイント。三角関数への置換積分でも解けるが、扇形と直角三角形の面積に帰着させる幾何的解法を併用すると計算の見通しが良くなり、ミスも減らせる。