京都大学 2017年 文系 第1問 解説

方針・初手

接点の $x$ 座標を $t$ とおいて接線の方程式を立て、それが点 $P(3, 0)$ を通るという条件から $t$ についての方程式を導く。得られた $t$ の値のうち、接線の傾きが負になるものを特定し、接線 $l$ の方程式を確定する。最後に曲線 $C$ と接線 $l$ の交点を求め、上下関係を把握してから定積分を用いて面積を計算する。

解法1

関数を $f(x) = x^3 - 4x + 1$ とおく。これを微分すると

$$ f'(x) = 3x^2 - 4 $$

曲線 $C$ 上の点 $(t,\ t^3-4t+1)$ における接線の方程式は

$$ y = (3t^2-4)(x-t) + t^3-4t+1 = (3t^2-4)x - 2t^3 + 1 $$

直線 $l$ はこの接線であり、点 $P(3, 0)$ を通るから

$$ 0 = (3t^2-4)\cdot 3 - 2t^3 + 1 \implies 2t^3 - 9t^2 + 11 = 0 $$

因数定理を用いると $t = -1$ が解の1つであるとわかるので、左辺を因数分解して

$$ (t+1)(2t^2-11t+11) = 0 $$

よって、$t = -1,\ \dfrac{11 \pm \sqrt{33}}{4}$

ここで、直線 $l$ の傾きは負であるから

$$ 3t^2 - 4 < 0 \implies t^2 < \frac{4}{3} $$

$t = \dfrac{11 \pm \sqrt{33}}{4}$ について考える。$\sqrt{33} < \sqrt{36} = 6$ であるから、

$$ \frac{11-\sqrt{33}}{4} > \frac{11-6}{4} = \frac{5}{4} $$

両辺は正であるから平方して比較する。$\left(\dfrac{5}{4}\right)^2 = \dfrac{25}{16} = 1.5625$、一方 $\dfrac{4}{3} \approx 1.333$ であるから

$$ \left(\frac{11-\sqrt{33}}{4}\right)^2 > \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} > \frac{4}{3} $$

となり、条件 $t^2 < \dfrac{4}{3}$ を満たさない（当然 $\dfrac{11+\sqrt{33}}{4}$ も満たさない）。

$t = -1$ のときは $(-1)^2 = 1 < \dfrac{4}{3}$ となり条件を満たす。

したがって、適する接点の $x$ 座標は $t = -1$ のみである。

$t = -1$ を接線の方程式に代入すると、直線 $l$ の方程式は

$$ y = (3\cdot 1-4)x - 2\cdot(-1)^3+1 = -x+3 $$

次に、曲線 $C$ と直線 $l$ の共有点の $x$ 座標を求める。

$$ x^3-4x+1 = -x+3 \implies x^3-3x-2 = 0 $$

$l$ は $x = -1$ で $C$ に接するので、左辺は $(x+1)^2$ を因数にもつ。

$$ x^3-3x-2 = (x+1)^2(x-2) = 0 \implies x = -1,\ 2 $$

区間 $-1 \leq x \leq 2$ において、

$$ x^3-3x-2 = (x+1)^2(x-2) \leq 0 $$

であるから、直線 $l$ は曲線 $C$ の上側にある。

求める面積 $S$ は

$$ S = \int_{-1}^{2} \{(-x+3)-(x^3-4x+1)\}\,dx = \int_{-1}^{2} (-x^3+3x+2)\,dx $$

$$ = \int_{-1}^{2} (x+1)^2(2-x)\,dx $$

$u = x+1$ とおくと、$x: -1\to 2$ のとき $u: 0\to 3$ であり、

$$ S = \int_0^3 u^2(3-u)\,du = \left[u^3 - \frac{u^4}{4}\right]_0^3 = 27 - \frac{81}{4} = \frac{27}{4} $$

解説

接点が与えられていない接線の問題の定石通り、接点の $x$ 座標を文字でおいて方程式を立てるのが第一歩です。

3次方程式 $2t^3 - 9t^2 + 11 = 0$ を解く際、定数項の約数 $\pm 1,\ \pm 11$ を代入して因数定理を利用します。

本問の山場は、傾きが負という条件からの $t$ の絞り込みです。無理数を含む解の評価では、無理数の近似値を利用して不等式を作ることで、無駄な計算を省きつつ論理的に不適であることを示せます。

また、面積の積分計算においては、

$$ \int_{-1}^{2} (x+1)^2(2-x)\,dx $$

のように $x+1$ の塊をつくって $u = x+1$ と置換すると、代入後の計算が楽になりミスを防ぎやすくなります。

答え

$$ S = \frac{27}{4} $$