数学2 面積・接線 問題 45 解説

方針・初手

• 2つの接点の $x$ 座標を文字でおき、それぞれの接線の方程式を立てる。
• 2本の接線がともに点 $\mathrm{P}(p,q)$ を通るという条件から、接点の $x$ 座標と $p, q$ の関係式（解と係数の関係）を導く。
• 面積の計算では定積分を行い、接点の $x$ 座標の差の3乗の形で面積を表してから $p, q$ の式に直す。

解法1

$C: y = x^2$ に対して $y' = 2x$ である。 点 $\mathrm{Q}, \mathrm{R}$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とおく。

点 $\mathrm{Q}(\alpha, \alpha^2)$ における接線の方程式は、

$$y - \alpha^2 = 2\alpha(x - \alpha) \iff y = 2\alpha x - \alpha^2$$

同様に、点 $\mathrm{R}(\beta, \beta^2)$ における接線の方程式は、

$$y = 2\beta x - \beta^2$$

これら2本の接線が点 $\mathrm{P}(p, q)$ を通るので、

$$\begin{cases} q = 2\alpha p - \alpha^2 \\ q = 2\beta p - \beta^2 \end{cases}$$

が成り立つ。これは、$\alpha, \beta$ が $t$ についての2次方程式 $t^2 - 2pt + q = 0$ の相異なる2つの実数解であることを示している。 解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = 2p, \quad \alpha\beta = q$$

また、$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 4p^2 - 4q$ であり、$\alpha < \beta$ より、

$$\beta - \alpha = 2\sqrt{p^2 - q}$$

である。条件 $q < p^2$ が与えられているため根号の中身は正となり、相異なる実数解をもつ条件を満たしている。

(1)

点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標は $p = \frac{\alpha+\beta}{2}$ である。 $C$ と2本の接線で囲まれた部分の面積 $S_1$ は、

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_{\alpha}^{p} \{ x^2 - (2\alpha x - \alpha^2) \} dx + \int_{p}^{\beta} \{ x^2 - (2\beta x - \beta^2) \} dx \\ &= \int_{\alpha}^{p} (x - \alpha)^2 dx + \int_{p}^{\beta} (x - \beta)^2 dx \\ &= \left[ \frac{(x - \alpha)^3}{3} \right]_{\alpha}^{p} + \left[ \frac{(x - \beta)^3}{3} \right]_{p}^{\beta} \\ &= \frac{(p - \alpha)^3}{3} - \frac{(p - \beta)^3}{3} \end{aligned}$$

ここで、$p = \frac{\alpha+\beta}{2}$ より $p - \alpha = \frac{\beta - \alpha}{2}$, $\beta - p = \frac{\beta - \alpha}{2}$ であるから、

$$S_1 = \frac{1}{3} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 + \frac{1}{3} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 = \frac{1}{12} (\beta - \alpha)^3$$

$\beta - \alpha = 2\sqrt{p^2 - q}$ を代入して、

$$S_1 = \frac{1}{12} \left( 2\sqrt{p^2 - q} \right)^3 = \frac{2}{3} (p^2 - q)^{\frac{3}{2}}$$

(2)

直線 $\mathrm{QR}$ の方程式は、2点 $(\alpha, \alpha^2), (\beta, \beta^2)$ を通る直線であることから、

$$y - \alpha^2 = \frac{\beta^2 - \alpha^2}{\beta - \alpha} (x - \alpha) \iff y = (\alpha + \beta)x - \alpha\beta$$

直線 $\mathrm{QR}$ と $C$ で囲まれた部分の面積 $S_2$ は、$\alpha \leqq x \leqq \beta$ において直線 $\mathrm{QR}$ が放物線 $C$ の上側にあるから、

$$\begin{aligned} S_2 &= \int_{\alpha}^{\beta} \{ (\alpha + \beta)x - \alpha\beta - x^2 \} dx \\ &= - \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx \\ &= \frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3 \end{aligned}$$

したがって、求める比は、

$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3}{\frac{1}{12} (\beta - \alpha)^3} = 2$$

解説

• 「$\frac{1}{6}$ 公式」「$\frac{1}{12}$ 公式」と呼ばれる定積分の性質と、接線の交点に関する有名な性質を問う典型問題である。
• 放物線の外部の点から引いた2本の接線の接点を結ぶ弦と放物線で囲まれる面積 $S_2$ は、2接線と放物線で囲まれる面積 $S_1$ のちょうど2倍になるという事実（アルキメデスの定理）を証明する内容となっている。
• 接点の $x$ 座標を文字で置き、それらが満たす2次方程式の「解と係数の関係」を利用して交点の座標や長さを表す処理は、2次曲線と接線の問題において非常に有効な定石である。

答え

(1) $S_1 = \frac{2}{3} (p^2 - q)^{\frac{3}{2}}$

(2) $\frac{S_2}{S_1} = 2$