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数学2 面積・接線問題 44 解説

方針・初手

4次関数についての微積分と方程式の解の配置を考える総合問題である。

まずは導関数から増減表を作成し、グラフの概形を把握する。方程式 $f(x) = k$ の実数解の個数は、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = k$ の共有点の個数に一致することを利用する。後半では、4次方程式が特定の関係を持つ解を持つ条件を立式し、定積分を用いて面積を計算する。

解法1

(1)

関数 $f(x) = x^4 - x^2$ を微分する。

$$f'(x) = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1)$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、

$$x = 0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

である。これより、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	$-\frac{1}{4}$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-\frac{1}{4}$	$\nearrow$

増減表より、極値は次の通りである。

$$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ のとき、極小値 } -\frac{1}{4}$$

$$x = 0 \text{ のとき、極大値 } 0$$

(2)

方程式 $f(x) = k$ の異なる実数解の個数は、$xy$ 平面上における曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = k$ の共有点の個数と等しい。

(1) の増減表から、曲線 $y = f(x)$ は極小値 $-\frac{1}{4}$、極大値 $0$ を持つ左右対称（$y$ 軸対称）なグラフとなる。

したがって、直線 $y = k$ が曲線 $y = f(x)$ と異なる4つの共有点を持つような $k$ の範囲は、極小値と極大値の間であるから、

$$-\frac{1}{4} < k < 0$$

となる。

(3)

$-\frac{1}{4} < k < 0$ のとき、方程式 $x^4 - x^2 - k = 0$ は異なる4つの実数解を持つ。

関数 $f(x)$ は偶関数であるため、解は絶対値が等しく符号が異なる2組の実数となる。題意より、正の解を $\alpha, \beta$ （$0 < \alpha < \beta$）とすると、4つの解は $\pm \alpha, \pm \beta$ と表される。

ここで $X = x^2$ とおくと、元の方程式は $X$ についての2次方程式となる。

$$X^2 - X - k = 0$$

この2次方程式の異なる2つの正の解が $\alpha^2, \beta^2$ である。解と係数の関係より、次の2式が成り立つ。

$$\alpha^2 + \beta^2 = 1$$

$$\alpha^2 \beta^2 = -k$$

条件より $\beta = 2\alpha$ であるから、これを1つ目の式に代入する。

$$\alpha^2 + (2\alpha)^2 = 1$$

$$5\alpha^2 = 1 \iff \alpha^2 = \frac{1}{5}$$

これを2つ目の式に代入して $k$ を求める。

$$-k = \alpha^2 (2\alpha)^2 = 4\alpha^4 = 4 \left( \frac{1}{5} \right)^2 = \frac{4}{25}$$

$$k = -\frac{4}{25}$$

この値は $-\frac{1}{4} < k < 0$ を満たす。

(4)

(3) の結果から、$k = -\frac{4}{25}$ であり、$\alpha, \beta$ はそれぞれ正であるから、

$$\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

である。

求める面積 $S$ は、区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = k$ で囲まれた図形の面積である。

この区間における上下関係を調べる。

$$f(x) - k = x^4 - x^2 + \frac{4}{25} = \left( x^2 - \frac{1}{5} \right) \left( x^2 - \frac{4}{5} \right)$$

$\frac{1}{\sqrt{5}} \leqq x \leqq \frac{2}{\sqrt{5}}$ において、各辺を2乗すると $\frac{1}{5} \leqq x^2 \leqq \frac{4}{5}$ となる。

このとき、$x^2 - \frac{1}{5} \geqq 0$ かつ $x^2 - \frac{4}{5} \leqq 0$ であるため、$f(x) - k \leqq 0$、すなわち $f(x) \leqq k$ となる。

したがって、直線 $y = k$ の方が上にあるので、求める面積 $S$ は以下の定積分で計算できる。

$$S = \int_{\frac{1}{\sqrt{5}}}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \{ k - f(x) \} \, dx = \int_{\frac{1}{\sqrt{5}}}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \left( -x^4 + x^2 - \frac{4}{25} \right) \, dx$$

ここで計算を簡単にするため、$x = \frac{t}{\sqrt{5}}$ と置換する。

$$dx = \frac{1}{\sqrt{5}} dt$$

積分区間は、$x$ が $\frac{1}{\sqrt{5}}$ から $\frac{2}{\sqrt{5}}$ まで変化するとき、$t$ は $1$ から $2$ まで変化する。

被積分関数は次のように変形できる。

$$-x^4 + x^2 - \frac{4}{25} = - \left( \frac{t}{\sqrt{5}} \right)^4 + \left( \frac{t}{\sqrt{5}} \right)^2 - \frac{4}{25} = -\frac{1}{25} (t^4 - 5t^2 + 4)$$

よって、面積 $S$ は次のように計算される。

$$S = \int_{1}^{2} \left\{ -\frac{1}{25} (t^4 - 5t^2 + 4) \right\} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \, dt$$

$$S = -\frac{1}{25\sqrt{5}} \int_{1}^{2} (t^4 - 5t^2 + 4) \, dt$$

定積分を実行する。

$$\int_{1}^{2} (t^4 - 5t^2 + 4) \, dt = \left[ \frac{t^5}{5} - \frac{5}{3}t^3 + 4t \right]_{1}^{2}$$

$$= \left( \frac{32}{5} - \frac{40}{3} + 8 \right) - \left( \frac{1}{5} - \frac{5}{3} + 4 \right)$$

$$= \left( \frac{96 - 200 + 120}{15} \right) - \left( \frac{3 - 25 + 60}{15} \right)$$

$$= \frac{16}{15} - \frac{38}{15} = -\frac{22}{15}$$

したがって、求める面積 $S$ は、

$$S = -\frac{1}{25\sqrt{5}} \times \left( -\frac{22}{15} \right) = \frac{22}{375\sqrt{5}} = \frac{22\sqrt{5}}{1875}$$

となる。

解説

4次関数に関する標準的な微分積分の問題である。 (2) のように、方程式の実数解の個数をグラフの共有点の個数に帰着させる考え方は頻出である。 (3) は、複二次式（$x^4$ と $x^2$ の項のみからなる式）の特性を活かし、$X=x^2$ と置いて2次方程式の解と係数の関係に持ち込むと計算が見通しよくなる。 (4) の定積分では、分数が多く計算が煩雑になりやすいため、置換積分を利用して整数係数の多項式の積分に持ち込むと計算ミスを減らすことができる。積分区間における上下関係の確認も忘れずに行いたい。