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数学2 面積・接線問題 47 解説

方針・初手

2つの放物線の交点を求めるために方程式を連立し、その2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件から $a$ の範囲を求める。面積 $S(a)$ は、定積分を計算する際にいわゆる「 $\frac{1}{6}$ 公式」を用いることで計算量を減らすことができる。その後は $S(a)$ を構成する関数の増減を微分を用いて調べ、最大値を求める。

解法1

(1)

2つの放物線の方程式から $y$ を消去すると

$$\frac{1}{2}x^2 - 3a = -\frac{1}{2}x^2 + 2ax - a^3 - a^2$$

となる。これを整理して

$$x^2 - 2ax + a^3 + a^2 - 3a = 0$$

2つの放物線が異なる2点で交わるための条件は、この $x$ についての2次方程式が異なる2つの実数解をもつことである。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ であればよい。

$$\frac{D}{4} = (-a)^2 - (a^3 + a^2 - 3a) > 0$$

$$-a^3 + 3a > 0$$

$$a(a^2 - 3) < 0$$

問題の条件より $a > 0$ であるから、両辺を $a$ で割って

$$a^2 - 3 < 0$$

$$-\sqrt{3} < a < \sqrt{3}$$

$a > 0$ と合わせることで、求める $a$ の値の範囲は

$$0 < a < \sqrt{3}$$

(2)

(1)の2次方程式の異なる2つの実数解を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とする。これらが2つの放物線の交点の $x$ 座標となる。放物線の係数から、上に凸である $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2ax - a^3 - a^2$ が上側に、下に凸である $y = \frac{1}{2}x^2 - 3a$ が下側にあることがわかる。したがって、囲まれる部分の面積 $S(a)$ は

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ \left( -\frac{1}{2}x^2 + 2ax - a^3 - a^2 \right) - \left( \frac{1}{2}x^2 - 3a \right) \right\} dx \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} \left( -x^2 + 2ax - a^3 - a^2 + 3a \right) dx \\ &= -\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx \\ &= \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \end{aligned}$$

と表せる。ここで、解と係数の関係より

$$\alpha + \beta = 2a$$

$$\alpha\beta = a^3 + a^2 - 3a$$

であるから

$$\begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= (2a)^2 - 4(a^3 + a^2 - 3a) \\ &= -4a^3 + 12a \\ &= 4(3a - a^3) \end{aligned}$$

$\alpha < \beta$ より $\beta - \alpha > 0$ であるから

$$\beta - \alpha = 2\sqrt{3a - a^3}$$

これを用いて $S(a)$ を計算すると

$$\begin{aligned} S(a) &= \frac{1}{6} \left( 2\sqrt{3a - a^3} \right)^3 \\ &= \frac{8}{6} (3a - a^3)\sqrt{3a - a^3} \\ &= \frac{4}{3} (3a - a^3)\sqrt{3a - a^3} \end{aligned}$$

(3)

(2)で求めた $S(a)$ の式において、$3a - a^3 > 0$ であるから、$S(a)$ は $3a - a^3$ が最大となる極大のときに最大値をとる。 $f(a) = -a^3 + 3a$ とおき、$0 < a < \sqrt{3}$ の範囲における増減を調べる。

$$f'(a) = -3a^2 + 3 = -3(a + 1)(a - 1)$$

$0 < a < \sqrt{3}$ において $f'(a) = 0$ となるのは $a = 1$ のときである。

$0 < a < 1$ のとき、$f'(a) > 0$ であり $f(a)$ は増加する。 $1 < a < \sqrt{3}$ のとき、$f'(a) < 0$ であり $f(a)$ は減少する。

したがって、$f(a)$ は $a = 1$ のとき極大かつ最大となる。そのときの $f(a)$ の値は

$$f(1) = -1^3 + 3 \cdot 1 = 2$$

以上より、$S(a)$ は $a = 1$ のとき最大となり、その最大値は

$$S(1) = \frac{4}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$$

解説

放物線同士で囲まれた面積を求める典型的な問題である。(1)で求めた実数解の条件が、(2)の根号の中身が正であることの保証になっている。(2)では交点の座標を直接求めず、解と係数の関係を利用して $(\beta - \alpha)^2$ を計算し、面積の $\frac{1}{6}$ 公式に代入する手法が定石であり、計算ミスを防ぐ上で重要である。(3)では、無理関数全体を微分するのではなく、根号の中の3次関数の最大値を考えることで、計算の負担を大幅に軽減できる。