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数学2 面積・接線問題 55 解説

方針・初手

(1) 3次関数 $y=f(x)$ のグラフが $x$軸と2つの共有点をもつのは、極値のいずれかが0になるときである。導関数 $f'(x)$ を求めて極値をもつ条件を確認し、極大値または極小値が0となるような $p$ の値を求める。

(2) 3つの関数のグラフの位置関係を調べる。(1)で求めた $\alpha, \beta$ を用いて、交点の $x$座標と上下関係を把握し、定積分により面積を計算する。

解法1

(1)

$f(x) = 2x^3 + 2px^2 + 1$ より、導関数は

$$f'(x) = 6x^2 + 4px = 2x(3x + 2p)$$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = 0, -\frac{2p}{3}$ である。 $p=0$ のとき、$f'(x) = 6x^2 \geqq 0$ となり、$f(x)$ は常に単調増加となるため、$x$軸との共有点は1個となり不適である。よって $p \neq 0$ であり、$f(x)$ は $x=0, -\frac{2p}{3}$ で極値をもつ。 $y=f(x)$ のグラフが $x$軸と2個の共有点をもつ条件は、極大値または極小値が0になることである。

$x=0$ における極値は $f(0) = 1 \neq 0$ であるから、$x = -\frac{2p}{3}$ における極値が0でなければならない。

$$f\left(-\frac{2p}{3}\right) = 2\left(-\frac{2p}{3}\right)^3 + 2p\left(-\frac{2p}{3}\right)^2 + 1$$

$$= -\frac{16p^3}{27} + \frac{8p^3}{9} + 1 = \frac{8p^3}{27} + 1$$

これが0となるので

$$\frac{8p^3}{27} + 1 = 0$$

$$p^3 = -\frac{27}{8}$$

$p$ は実数であるから

$$p = -\frac{3}{2}$$

このとき、$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$ であり、$f(x) = 0$ を解く。 $x=1$ で極小値0をとることから $(x-1)^2$ を因数にもつことに注意して因数分解すると

$$(x-1)^2(2x+1) = 0$$

これを解いて $x = -\frac{1}{2}, 1$ となる。 $\alpha < \beta$ であるから、$\alpha = -\frac{1}{2}, \beta = 1$ である。

(2)

(1)より、$\alpha = -\frac{1}{2}, \beta = 1$ である。与えられた3つの関数を次のようにとおく。

$$y_1 = (x - \alpha)(x - \beta)$$

$$y_2 = 2(x - \alpha)^2$$

$$y_3 = 2(x - \beta)^2$$

区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において、各グラフの上下関係と交点を調べる。

$y_2 = y_3$ とすると

$$2(x - \alpha)^2 = 2(x - \beta)^2$$

$$(x - \alpha)^2 = (x - \beta)^2$$

$x - \alpha = \pm(x - \beta)$ であり、$\alpha \neq \beta$ より $x - \alpha = -(x - \beta)$ となる。よって $x = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{1}{4}$ である。 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ の範囲において、$y_2$ と $y_3$ は $x = \frac{1}{4}$ のみで交わる。また、$x \leqq \frac{1}{4}$ では $y_2 \leqq y_3$、$x \geqq \frac{1}{4}$ では $y_2 \geqq y_3$ となる。

次に、$y_1$ と $y_2$ について、$\alpha \leqq x \leqq \beta$ のとき $x - \beta \leqq 0, x - \alpha \geqq 0$ より

$$y_2 - y_1 = 2(x - \alpha)^2 - (x - \alpha)(x - \beta) = (x - \alpha) \{ 2(x - \alpha) - (x - \beta) \} = (x - \alpha) (x - 2\alpha + \beta) \geqq 0$$

したがって、$y_2 \geqq y_1$ である。同様に、$y_1$ と $y_3$ について

$$y_3 - y_1 = 2(x - \beta)^2 - (x - \alpha)(x - \beta) = (x - \beta) \{ 2(x - \beta) - (x - \alpha) \} = (x - \beta) (x + \alpha - 2\beta) \geqq 0$$

したがって、$y_3 \geqq y_1$ である。

以上から、求める面積 $S$ は、下側の境界が $y_1$、上側の境界が $\alpha \leqq x \leqq \frac{\alpha+\beta}{2}$ で $y_2$、$\frac{\alpha+\beta}{2} \leqq x \leqq \beta$ で $y_3$ となる。

$$S = \int_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}} (y_2 - y_1) dx + \int_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta} (y_3 - y_1) dx$$

ここで、それぞれの被積分関数を変形すると

$$y_2 - y_1 = 2(x - \alpha)^2 - (x - \alpha)(x - \beta)$$

$$= 2(x - \alpha)^2 - (x - \alpha)\{ (x - \alpha) - (\beta - \alpha) \}$$

$$= (x - \alpha)^2 + (\beta - \alpha)(x - \alpha)$$

$$y_3 - y_1 = 2(x - \beta)^2 - (x - \alpha)(x - \beta)$$

$$= 2(x - \beta)^2 - \{ (x - \beta) + (\beta - \alpha) \}(x - \beta)$$

$$= (x - \beta)^2 - (\beta - \alpha)(x - \beta)$$

これを代入して積分を計算する。

$$S = \int_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}} \{ (x - \alpha)^2 + (\beta - \alpha)(x - \alpha) \} dx + \int_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta} \{ (x - \beta)^2 - (\beta - \alpha)(x - \beta) \} dx$$

$$= \left[ \frac{1}{3}(x - \alpha)^3 + \frac{\beta - \alpha}{2}(x - \alpha)^2 \right]_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}} + \left[ \frac{1}{3}(x - \beta)^3 - \frac{\beta - \alpha}{2}(x - \beta)^2 \right]_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta}$$

$$= \left\{ \frac{1}{3}\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right)^3 + \frac{\beta - \alpha}{2}\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right)^2 \right\} - \left\{ \frac{1}{3}\left(-\frac{\beta - \alpha}{2}\right)^3 - \frac{\beta - \alpha}{2}\left(-\frac{\beta - \alpha}{2}\right)^2 \right\}$$

$$= \frac{4}{3} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 + \frac{4}{3} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3$$

$$= \frac{8}{3} \frac{(\beta - \alpha)^3}{8} = \frac{(\beta - \alpha)^3}{3}$$

$\alpha = -\frac{1}{2}, \beta = 1$ より $\beta - \alpha = \frac{3}{2}$ であるから

$$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{8}$$