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数学2 面積・接線問題 67 解説

方針・初手

(1) は、$x \geqq 0$ における関数 $f(x)$ の最小値を求め、それが正であることを示す方針をとる。導関数 $f'(x)$ を求めて増減表を作成し、極小値の符号を評価する。

(2) は、面積を積分で立式する。(1) の結果から積分区間において被積分関数が正であることが保証される。その後、面積 $S(a)$ を $a$ の関数として微分し、増減表から最小値を見つける。

解法1

(1)

$f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x + 1$ について、導関数 $f'(x)$ を求める。

$$f'(x) = 3x^2 - 10x + 6$$

$f'(x) = 0$ とすると、解の公式により以下のようになる。

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 18}}{3} = \frac{5 \pm \sqrt{7}}{3}$$

ここで、$2 < \sqrt{7} < 3$ であるから、$2 < 5 - \sqrt{7} < 3$ となり、$0 < \frac{5 - \sqrt{7}}{3} < 1$ が成り立つ。

$\alpha = \frac{5 - \sqrt{7}}{3}$、$\beta = \frac{5 + \sqrt{7}}{3}$ とおくと、$x \geqq 0$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \hline x & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \beta & \cdots \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & 1 & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \\ \hline \end{array}$$

増減表より、$x \geqq 0$ における $f(x)$ の最小値の候補は $f(0) = 1$ または $f(\beta)$ である。極小値 $f(\beta)$ を計算する。$f(x)$ を $f'(x)$ で割ると、以下の等式が得られる。

$$f(x) = \left( 3x^2 - 10x + 6 \right) \left( \frac{1}{3}x - \frac{5}{9} \right) - \frac{14}{9}x + \frac{13}{3}$$

$x = \beta$ のとき $3\beta^2 - 10\beta + 6 = 0$ であるから、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} f(\beta) &= -\frac{14}{9}\beta + \frac{13}{3} \\ &= -\frac{14}{9} \cdot \frac{5 + \sqrt{7}}{3} + \frac{39}{9} \\ &= \frac{-70 - 14\sqrt{7} + 117}{27} \\ &= \frac{47 - 14\sqrt{7}}{27} \end{aligned}$$

ここで、$47^2 = 2209$、$(14\sqrt{7})^2 = 196 \times 7 = 1372$ であるから、$47^2 > (14\sqrt{7})^2$ が成り立ち、$47 > 14\sqrt{7}$ である。

したがって、$f(\beta) > 0$ である。

$f(0) = 1 > 0$ であり、$f(\beta) > 0$ であるため、$x \geqq 0$ における $f(x)$ の最小値は正である。よって、$x \geqq 0$ のとき $f(x) > 0$ が成り立つ。（証明終）

(2)

$a \geqq 0$ のとき、区間 $a \leqq x \leqq a+1$ においては $x \geqq 0$ であるから、(1) の結果より $f(x) > 0$ である。

したがって、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸、および2直線 $x = a$, $x = a+1$ で囲まれた図形の面積 $S(a)$ は、次の定積分で表される。

$$S(a) = \int_{a}^{a+1} f(x) dx$$

$S(a)$ を $a$ で微分すると、微積分学の基本定理より以下のようになる。

$$\begin{aligned} S'(a) &= f(a+1) - f(a) \\ &= \left\{ (a+1)^3 - 5(a+1)^2 + 6(a+1) + 1 \right\} - \left( a^3 - 5a^2 + 6a + 1 \right) \\ &= \left( a^3 - 2a^2 - a + 3 \right) - \left( a^3 - 5a^2 + 6a + 1 \right) \\ &= 3a^2 - 7a + 2 \\ &= (3a - 1)(a - 2) \end{aligned}$$

$S'(a) = 0$ となるのは $a = \frac{1}{3}, 2$ のときである。$a \geqq 0$ における $S(a)$ の増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \hline a & 0 & \cdots & \frac{1}{3} & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline S'(a) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline S(a) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \\ \hline \end{array}$$

増減表より、$S(a)$ は $0 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$ で単調増加、$\frac{1}{3} \leqq a \leqq 2$ で単調減少、$a \geqq 2$ で単調増加する。したがって、最小値の候補は $S(0)$ と $S(2)$ のいずれかである。

$S(a)$ を直接計算する。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_{a}^{a+1} \left( x^3 - 5x^2 + 6x + 1 \right) dx \\ &= \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 + x \right]_{a}^{a+1} \\ &= \frac{1}{4}\left\{ (a+1)^4 - a^4 \right\} - \frac{5}{3}\left\{ (a+1)^3 - a^3 \right\} + 3\left\{ (a+1)^2 - a^2 \right\} + 1 \\ &= \frac{1}{4}\left( 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1 \right) - \frac{5}{3}\left( 3a^2 + 3a + 1 \right) + 3(2a + 1) + 1 \\ &= \left( a^3 + \frac{3}{2}a^2 + a + \frac{1}{4} \right) - \left( 5a^2 + 5a + \frac{5}{3} \right) + 6a + 4 \\ &= a^3 - \frac{7}{2}a^2 + 2a + \frac{31}{12} \end{aligned}$$

この式を用いて $S(0)$ と $S(2)$ を計算する。

$$S(0) = \frac{31}{12}$$

$$\begin{aligned} S(2) &= 2^3 - \frac{7}{2} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + \frac{31}{12} \\ &= 8 - 14 + 4 + \frac{31}{12} \\ &= -2 + \frac{31}{12} \\ &= \frac{7}{12} \end{aligned}$$

$S(0) > S(2)$ であるから、$a \geqq 0$ における $S(a)$ の最小値は $S(2)$ である。

解説

(1) では、関数の最小値が正であることを示す標準的な手法である、導関数を用いた増減表の作成が求められる。極値を与える $x$ の値が無理数になるため、高次式の値を求める工夫（次数下げ）と、無理数を含む式の符号判定がポイントとなる。大小比較では、両辺を平方して比較する手法が有効である。

(2) では、積分区間の幅が $1$ で一定の定積分で表された関数の最小値を求める。被積分関数が正であることは (1) によって保証されているため、そのまま定積分を計算すればよい。$\frac{d}{da}\int_{a}^{a+1} f(x) dx = f(a+1) - f(a)$ の関係を用いて導関数を求めると、計算の見通しが良くなる。最後に、増減表の端点と極小値の大小比較を忘れないよう注意したい。