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数学2 面積・接線問題 99 解説

方針・初手

問題文で与えられた累積分配金率 $b_n$ と累積人員率 $c_n$ の定義に忠実に従い、順に値を計算する。ローレンツ曲線と直線 $y=x$ で囲まれる面積は、直線 $y=x$ と $x$ 軸、$x=1$ で囲まれる直角三角形の面積（$\frac{1}{2}$）から、ローレンツ曲線と $x$ 軸、$x=1$ で囲まれる部分の面積を引くことで求める。この面積を $\frac{1}{2}$ で割った値、すなわち面積を $2$ 倍した値がジニ係数である。

解法1

分配Aについて考える。売り上げの総額は $16000$ 円であり、分配金は $S_1 = 1000$、$S_2 = 3000$、$S_3 = 5000$、$S_4 = 7000$ である。各分配金が売り上げ全体に占める割合 $a_n = \frac{S_n}{16000}$ を計算すると、以下のようになる。

$$a_1 = \frac{1000}{16000} = \frac{1}{16}$$

$$a_2 = \frac{3000}{16000} = \frac{3}{16}$$

$$a_3 = \frac{5000}{16000} = \frac{5}{16}$$

$$a_4 = \frac{7000}{16000} = \frac{7}{16}$$

累積分配金率 $b_n$ は次のように求められる。

$$b_1 = a_1 = \frac{1}{16}$$

$$b_2 = b_1 + a_2 = \frac{1}{16} + \frac{3}{16} = \frac{1}{4}$$

$$b_3 = b_2 + a_3 = \frac{4}{16} + \frac{5}{16} = \frac{9}{16}$$

$$b_4 = b_3 + a_4 = \frac{9}{16} + \frac{7}{16} = 1$$

これでア、イ、ウが求まる。

次に、ローレンツ曲線と $x$ 軸、$x=1$ で囲まれる面積を求める。各点の座標は $(0, 0)$、$(\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$、$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$、$(\frac{3}{4}, \frac{9}{16})$、$(1, 1)$ である。区間の幅はすべて $\frac{1}{4}$ であるから、求める面積 $S$ は各区間における台形（最初の区間は三角形）の面積の和となる。

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot (0 + b_1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot (b_1 + b_2) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot (b_2 + b_3) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot (b_3 + b_4)$$

$$S = \frac{1}{8} \{ 2b_1 + 2b_2 + 2b_3 + b_4 \}$$

値を代入すると、次のようになる。

$$S = \frac{1}{8} \left\{ 2\left(\frac{1}{16}\right) + 2\left(\frac{4}{16}\right) + 2\left(\frac{9}{16}\right) + \frac{16}{16} \right\} = \frac{1}{8} \cdot \frac{44}{16} = \frac{11}{32}$$

直線 $y=x$ と $x$ 軸、$x=1$ で囲まれる面積は $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ である。したがって、ローレンツ曲線と直線 $y=x$ で囲まれる面積（エ）は次のようになる。

$$\frac{1}{2} - \frac{11}{32} = \frac{16}{32} - \frac{11}{32} = \frac{5}{32}$$

ジニ係数（オ）は、この面積を $\frac{1}{2}$ で割った値である。

$$\frac{5}{32} \div \frac{1}{2} = \frac{5}{16}$$

分配Bについて考える。 $S_1 = S_2 = S_3 = S_4 = 4000$ であるから、$a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = \frac{1}{4}$ となる。このとき、$b_n = \frac{n}{4} = c_n$ となるため、点 $(c_n, b_n)$ はすべて直線 $y=x$ 上にある。よって、ローレンツ曲線は直線 $y=x$ と一致し、囲まれる面積は $0$ となる。したがって、分配Bのジニ係数（カ）は $0$ である。

分配Cについて考える。 $S_1 = S_2 = S_3 = 0$、$S_4 = 16000$ であるから、$a_1 = a_2 = a_3 = 0$、$a_4 = 1$ となる。累積分配金率は $b_1 = 0$、$b_2 = 0$、$b_3 = 0$、$b_4 = 1$ となる。ローレンツ曲線と $x$ 軸で囲まれる部分は、最後の区間における底辺 $\frac{1}{4}$、高さ $1$ の三角形のみとなる。その面積は $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{8}$ である。ローレンツ曲線と直線 $y=x$ で囲まれる面積は $\frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ となり、ジニ係数（キ）は次のようになる。

$$\frac{3}{8} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$$

分配B（完全平等）のときジニ係数は $0$、分配C（不平等）のときジニ係数は $\frac{3}{4}$ となった。一般に、分配の不均等の度合いが小さいほどジニ係数は $0$ に近く、大きいほど $1$ に近い値をとる。したがって、クには $0$、ケには $1$ が該当し、その組み合わせは選択肢の③となる。

次に、ローレンツ曲線が関数 $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^2$ である場合を考える。この曲線と $x$ 軸で囲まれる面積を定積分で求める。

$$\int_{0}^{1} \left( \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^2 \right) dx = \left[ \frac{1}{12}x^4 + \frac{2}{9}x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{12} + \frac{2}{9} = \frac{11}{36}$$

ローレンツ曲線と直線 $y=x$ で囲まれる面積は、$\frac{1}{2} - \frac{11}{36} = \frac{7}{36}$ となる。したがって、ジニ係数（コ）は次のようになる。

$$\frac{7}{36} \div \frac{1}{2} = \frac{7}{18}$$

最後に、ローレンツ曲線が方程式 $x^2 + (y-1)^2 = 1 \quad (0 \leqq x \leqq 1, 0 \leqq y \leqq 1)$ の表す曲線である場合を考える。 $0 \leqq y \leqq 1$ より $y-1 \leqq 0$ であるから、方程式を $y$ について解くと次のようになる。

$$y = 1 - \sqrt{1 - x^2}$$

この曲線と $x$ 軸で囲まれる面積を定積分で求める。

$$\int_{0}^{1} \left( 1 - \sqrt{1 - x^2} \right) dx = \int_{0}^{1} 1 dx - \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$$

ここで、$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$ は半径 $1$ の円の面積の $\frac{1}{4}$ であるから、$\frac{\pi}{4}$ である。したがって、面積は $1 - \frac{\pi}{4}$ となる。ローレンツ曲線と直線 $y=x$ で囲まれる面積は、次のようになる。

$$\frac{1}{2} - \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$$

ジニ係数はこれを $2$ 倍した値であるから、次のようになる。

$$2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}\pi - 1$$

よって、サは $\frac{1}{2}$、シは $1$ である。

解説

経済学などで用いられるジニ係数の定義を題材にした、誘導形式の微分積分・数列の総合問題である。前半は、問題文の定義式を正しく読み取り、折れ線グラフの下部の面積を台形の面積の和として計算する力が求められる。後半は、関数として与えられたローレンツ曲線に対して、定積分を用いて面積を計算しジニ係数を求める。円の一部を表す無理関数の定積分は、円の面積を利用する典型的な処理である。定義を見失わず、誘導に沿って順序よく計算を進めれば完答できる問題である。