数学2 面積・接線 問題 98 解説

方針・初手

交点の $x$ 座標が連続する3整数であることを利用し、$y=f(x)$ と $y=d$ の関係式を立てる。図形の面積は平行移動しても変わらない性質を利用し、式を簡略化してから条件を適用していくのがよい。

解法1

曲線を $C: y=f(x)$ とする。 曲線 $C$ と直線 $y=d$ の交点の $x$ 座標は連続した3整数であるから、それらを $n-1, n, n+1$ （$n$ は整数）とおく。 このとき、$f(x) - d$ は $x^3$ の係数が $1$ の3次式であり、次のように因数分解できる。

$$f(x) - d = \{x-(n-1)\}(x-n)\{x-(n+1)\}$$

これを展開して整理する。

$$\begin{aligned} f(x) &= (x-n)\{(x-n)^2 - 1\} + d \\ &= (x-n)^3 - (x-n) + d \end{aligned}$$

求める図形の面積は、曲線を $x$ 軸方向に平行移動しても変化しない。 そこで、$x$ 軸方向に $-n$ だけ平行移動した曲線を $C'$ とすると、$C'$ の方程式は $y = g(x) = x^3 - x + d$ となる。 問題の条件「曲線 $C$ が $x$ 軸に接する」ことは、「曲線 $C'$ が $x$ 軸に接する」ことと同値である。 $C'$ が $x$ 軸に接するのは、$g(x)$ の極大値または極小値が $0$ になるときである。

$$g'(x) = 3x^2 - 1$$

$g'(x) = 0$ とすると、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

(i) 極小値が $0$ のとき $g\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$ より、

$$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 - \frac{1}{\sqrt{3}} + d = 0 \quad \therefore d = \frac{2}{3\sqrt{3}}$$

このとき $g(x) = x^3 - x + \frac{2}{3\sqrt{3}}$ となり、$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ で $x$ 軸に接するから、因数定理より

$$g(x) = \left(x - \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \left(x + \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$$

と因数分解できる。 曲線 $C'$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ と $\frac{1}{\sqrt{3}}$ であり、この区間で $g(x) \ge 0$ であるから、求める面積 $S$ は積分公式を用いて次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S &= \int_{-\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left(x - \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \left(x + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) dx \\ &= \frac{1}{12} \left\{ \frac{1}{\sqrt{3}} - \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \right\}^4 \\ &= \frac{1}{12} (\sqrt{3})^4 \\ &= \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \end{aligned}$$

(ii) 極大値が $0$ のとき $g\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$ より、

$$\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + d = 0 \quad \therefore d = -\frac{2}{3\sqrt{3}}$$

このとき $g(x) = x^3 - x - \frac{2}{3\sqrt{3}}$ となり、$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ で $x$ 軸に接するから、

$$g(x) = \left(x + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \left(x - \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$$

と因数分解できる。 曲線 $C'$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ と $\frac{2}{\sqrt{3}}$ であり、この区間で $g(x) \le 0$ であるから、面積 $S$ は、

$$\begin{aligned} S &= \int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}} \left\{ -g(x) \right\} dx \\ &= -\int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}} \left(x + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \left(x - \frac{2}{\sqrt{3}}\right) dx \\ &= \frac{1}{12} \left\{ \frac{2}{\sqrt{3}} - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \right\}^4 \\ &= \frac{1}{12} (\sqrt{3})^4 = \frac{3}{4} \end{aligned}$$

(i)、(ii) いずれの場合も求める面積は $\frac{3}{4}$ となる。

解法2

$3$ 次関数の極値の差および、面積公式に着目する。 $3$ 次関数 $y=f(x)$ と直線 $y=d$ の交点の $x$ 座標が $n-1, n, n+1$ （$n$ は整数）であるから、

$$f(x) - d = \{x-(n-1)\}(x-n)\{x-(n+1)\} = (x-n)^3 - (x-n)$$

と表せる。両辺を $x$ で微分すると、

$$f'(x) = 3(x-n)^2 - 1$$

$f'(x) = 0$ を解くと $x = n \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ となり、これが極値をとる $x$ 座標である。 $3$ 次関数の極大値と極小値の差 $\Delta y$ は、極値をとる $x$ 座標をそれぞれ $\gamma, \delta$ （$\gamma < \delta$）、$x^3$ の係数を $a$ とすると $\Delta y = \frac{|a|}{2}(\delta - \gamma)^3$ で計算できる。

$$\Delta y = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left\{ \left(n + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \left(n - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \right\}^3 = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^3 = \frac{4}{3\sqrt{3}}$$

一方で、曲線 $y=f(x)$ は $x$ 軸に接するため、共有点の $x$ 座標を $\alpha$ （接点）、$\beta$ （交点）とおくと、

$$f(x) = (x-\alpha)^2(x-\beta)$$

と表せる。このとき、$f(\alpha) = 0$ であり、もう一方の極値の絶対値が $\Delta y$ と等しくなる。 $f'(x) = 0$ となるのは $x = \alpha, \frac{\alpha+2\beta}{3}$ であるから、極大値と極小値の差 $\Delta y$ は、

$$\Delta y = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left| \frac{\alpha+2\beta}{3} - \alpha \right|^3 = \frac{1}{2} \left| \frac{2(\beta-\alpha)}{3} \right|^3 = \frac{4}{27} |\beta - \alpha|^3$$

これらが等しいので、

$$\frac{4}{27} |\beta - \alpha|^3 = \frac{4}{3\sqrt{3}}$$

$$|\beta - \alpha|^3 = 3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^3$$

$$|\beta - \alpha| = \sqrt{3}$$

曲線と $x$ 軸で囲まれる面積 $S$ は、接点 $\alpha$ と交点 $\beta$ を用いて $\frac{1}{12}$ 公式で求められる。

$$S = \frac{1}{12} |\beta - \alpha|^4 = \frac{1}{12} (\sqrt{3})^4 = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$$

解説

面積を計算する際に真正面から展開して積分計算を行うと変数が多く煩雑になる。「図形の面積は平行移動しても不変である」という性質を利用し、$f(x)$ を $x$ 軸方向に平行移動した関数 $g(x)$ を考えることで計算量を劇的に減らすことができる。 また、解法2のように $3$ 次関数の極値の差に関する公式と、接点を持つ場合の面積の $\frac{1}{12}$ 公式を組み合わせると、さらに見通しよく解くことが可能である。

答え

$\frac{3}{4}$