数学2 定積分 問題 52 解説

方針・初手

定積分を含む方程式の典型問題である。積分区間が定数（$-1$ から $1$）であるため、定積分 $\int_{-1}^1 f(y)dy$ などの値は定数となる。 被積分関数 $(x-y)^2 f(y)$ を展開し、積分変数 $y$ に無関係な $x$ を積分の外にくくり出すことで、定積分を定数でおいて $f(x)$ の形を決定する方針をとる。

解法1

与えられた恒等式は、次のように変形できる。

$$f(x) + \int_{-1}^1 (x^2 - 2xy + y^2) f(y) dy = 2x^2 + x + \frac{5}{3}$$

$$f(x) + x^2 \int_{-1}^1 f(y) dy - 2x \int_{-1}^1 yf(y) dy + \int_{-1}^1 y^2 f(y) dy = 2x^2 + x + \frac{5}{3}$$

ここで、定積分は定数となるので、

$$A = \int_{-1}^1 f(y) dy, \quad B = \int_{-1}^1 yf(y) dy, \quad C = \int_{-1}^1 y^2 f(y) dy$$

とおくと、与式は

$$f(x) + A x^2 - 2B x + C = 2x^2 + x + \frac{5}{3}$$

となり、整式 $f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = (2-A)x^2 + (1+2B)x + \frac{5}{3} - C$$

これを $A, B, C$ の定義式に代入し、偶関数と奇関数の定積分の性質を利用して計算する。

まず、$A$ について計算する。

$$\begin{aligned} A &= \int_{-1}^1 \left\{ (2-A)y^2 + (1+2B)y + \frac{5}{3} - C \right\} dy \\ &= 2 \int_0^1 \left\{ (2-A)y^2 + \frac{5}{3} - C \right\} dy \\ &= 2 \left[ \frac{2-A}{3}y^3 + \left( \frac{5}{3} - C \right)y \right]_0^1 \\ &= \frac{2(2-A)}{3} + \frac{10}{3} - 2C \\ &= \frac{14 - 2A}{3} - 2C \end{aligned}$$

両辺に $3$ を掛けて整理すると、次の関係式を得る。

$$5A + 6C = 14 \quad \cdots \text{①}$$

次に、$B$ について計算する。

$$\begin{aligned} B &= \int_{-1}^1 \left\{ (2-A)y^3 + (1+2B)y^2 + \left( \frac{5}{3} - C \right)y \right\} dy \\ &= 2 \int_0^1 (1+2B)y^2 dy \\ &= 2 \left[ \frac{1+2B}{3}y^3 \right]_0^1 \\ &= \frac{2(1+2B)}{3} \end{aligned}$$

両辺に $3$ を掛けて整理すると、$3B = 2 + 4B$ となり、

$$B = -2 \quad \cdots \text{②}$$

最後に、$C$ について計算する。

$$\begin{aligned} C &= \int_{-1}^1 \left\{ (2-A)y^4 + (1+2B)y^3 + \left( \frac{5}{3} - C \right)y^2 \right\} dy \\ &= 2 \int_0^1 \left\{ (2-A)y^4 + \left( \frac{5}{3} - C \right)y^2 \right\} dy \\ &= 2 \left[ \frac{2-A}{5}y^5 + \frac{5-3C}{9}y^3 \right]_0^1 \\ &= \frac{2(2-A)}{5} + \frac{10-6C}{9} \\ &= \frac{4-2A}{5} + \frac{10-6C}{9} \end{aligned}$$

両辺に $45$ を掛けて分母を払うと、

$$45C = 9(4-2A) + 5(10-6C)$$

$$45C = 36 - 18A + 50 - 30C$$

$$18A + 75C = 86 \quad \cdots \text{③}$$

①より $A = \frac{14-6C}{5}$ であるから、これを③に代入する。

$$18 \left( \frac{14-6C}{5} \right) + 75C = 86$$

両辺に $5$ を掛けて計算する。

$$18(14-6C) + 375C = 430$$

$$252 - 108C + 375C = 430$$

$$267C = 178$$

$178 = 2 \times 89$、$267 = 3 \times 89$ であるから、

$$C = \frac{2}{3} \quad \cdots \text{④}$$

④を①に代入して $A$ を求める。

$$5A + 6 \left( \frac{2}{3} \right) = 14$$

$$5A + 4 = 14$$

$$5A = 10 \implies A = 2 \quad \cdots \text{⑤}$$

②、④、⑤の結果を $f(x)$ の式に代入する。

$$f(x) = (2-2)x^2 + \{1+2(-2)\}x + \frac{5}{3} - \frac{2}{3}$$

$$f(x) = -3x + 1$$

解説

積分方程式の中でも、積分区間が定数であるパターンの最も標準的な解法を問う問題である。被積分関数を展開し、$x$ を積分の外に出して、残りの定積分を定数でおくという手順を確実に実行できるかが鍵となる。

計算量が多くなりがちであるが、積分区間が $-1$ から $1$ であるため、奇関数（奇数次の項）の積分が $0$ になる性質を利用することで、大幅に計算を簡略化できる。最後の連立方程式において $267C = 178$ となり一瞬戸惑うかもしれないが、$89$ で約分できることに気付けると自信を持って答えまで辿り着ける。

答え

$$f(x) = -3x + 1$$