京都大学 2007年 文系 第2問（甲） 解説

方針・初手

微分を用いて接線 $l$ の方程式を求め、$3$ 次関数のグラフとの共有点の $x$ 座標を求めます。

区間内での2つのグラフの上下関係と、それぞれが $x$ 軸のどちら側にあるかを確認した上で、回転体の体積の公式 $V = \pi \displaystyle\int_a^b (y_{\text{上}}^2 - y_{\text{下}}^2) \,dx$ に当てはめて定積分を計算します。

解法1

$f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ とおく。微分すると、

$$ f'(x) = 3x^2 - 4x - 1 $$

点 $(1, 0)$ における接線 $l$ の傾きは $f'(1) = 3 - 4 - 1 = -2$ であるから、接線 $l$ の方程式は

$$ y = -2(x - 1) = -2x + 2 $$

次に、$y = f(x)$ のグラフと接線 $l$ の共有点の $x$ 座標を求める。

$$\begin{aligned} x^3 - 2x^2 - x + 2 &= -2x + 2 \\ x^3 - 2x^2 + x &= 0 \\ x(x - 1)^2 &= 0 \end{aligned}$$

共有点の $x$ 座標は $x = 0, 1$ であり、求める立体は $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で囲まれた部分を回転させたものである。

この区間における上下関係と正負を調べる。

$$ f(x) - (-2x + 2) = x(x - 1)^2 \geqq 0 $$

また、$0 \leqq x \leqq 1$ において $-2x + 2 \geqq 0$ であるから、$f(x) \geqq -2x + 2 \geqq 0$ が成り立つ。

求める回転体の体積 $V$ は

$$ V = \pi \int_{0}^{1} \left\{ f(x)^2 - (-2x + 2)^2 \right\} \,dx $$

被積分関数を展開する。

$$ f(x)^2 = (x^3 - 2x^2 - x + 2)^2 = x^6 - 4x^5 + 2x^4 + 8x^3 - 7x^2 - 4x + 4 $$

$$ (-2x + 2)^2 = 4x^2 - 8x + 4 $$

$$ f(x)^2 - (-2x + 2)^2 = x^6 - 4x^5 + 2x^4 + 8x^3 - 11x^2 + 4x $$

よって、

$$\begin{aligned} V &= \pi \int_{0}^{1} (x^6 - 4x^5 + 2x^4 + 8x^3 - 11x^2 + 4x) \,dx \\ &= \pi \left[ \frac{x^7}{7} - \frac{2x^6}{3} + \frac{2x^5}{5} + 2x^4 - \frac{11x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{1} \\ &= \pi \left( \frac{1}{7} - \frac{2}{3} + \frac{2}{5} + 2 - \frac{11}{3} + 2 \right) \\ &= \pi \cdot \frac{15 + 42 - 70 + 420 - 385}{105} \\ &= \frac{22\pi}{105} \end{aligned}$$

（分母 $105 = 3 \times 5 \times 7$ で通分: $\frac{15 - 70 + 42 + 420 - 385}{105} = \frac{22}{105}$）

解説

回転体の体積を求める典型問題です。

公式 $V = \pi \int (y_1^2 - y_2^2) \,dx$ を使う際、「両方のグラフが $x$ 軸より上にあること」を必ず確認してください。本問ではどちらも $y \geqq 0$ の範囲に収まっているため、素直に外側の2乗から内側の2乗を引いて積分することができます。

被積分関数の展開は計算量が多くなるため、符号のミス等に十分注意して進めましょう。

答え

$$ \frac{22}{105}\pi $$