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東京大学 2025年文系第4問解説

方針・初手

与えられた連立不等式が表す領域の面積 $S(a)$ を求めるためには、まず領域が存在する条件、すなわち $y$ が存在するための $x$ の条件を調べ、積分区間を確定する必要がある。

連立不等式より、$y$ は

$$ |x^2 + a| \leqq y \leqq -\frac{1}{2}x^2 + 2 $$

を満たす。このような $y$ が存在するためには、

$$ |x^2 + a| \leqq -\frac{1}{2}x^2 + 2 $$

が成り立つ必要がある。この不等式を解き、$-1 \leqq x \leqq 1$ との共通範囲を求めることで $x$ の積分区間を決定する。その後、絶対値 $|x^2 + a|$ の中身の符号と積分区間に応じて $a$ の場合分けを行い、$S(a)$ を計算して最大値を求める。

解法1

連立不等式を満たす $y$ が存在するための条件は

$$ |x^2 + a| \leqq -\frac{1}{2}x^2 + 2 $$

である。これは次の連立不等式と同値である。

$$ \frac{1}{2}x^2 - 2 \leqq x^2 + a \leqq -\frac{1}{2}x^2 + 2 $$

$a$ は $-2 \leqq a < 2$ を動くため、$a \geqq -2$ より、左側の不等式 $x^2 + a - \left( \frac{1}{2}x^2 - 2 \right) = \frac{1}{2}x^2 + a + 2 \geqq 0$ は常に成り立つ。

一方、右側の不等式を整理すると、

$$ \frac{3}{2}x^2 \leqq 2 - a \iff x^2 \leqq \frac{2(2-a)}{3} $$

となる。連立不等式には $-1 \leqq x \leqq 1$ （すなわち $x^2 \leqq 1$）という条件も含まれるため、$S(a)$ を求めるための積分区間は

$$ x^2 \leqq \min\left(1, \frac{2(2-a)}{3}\right) $$

を満たす $x$ の範囲となる。

ここで、$\frac{2(2-a)}{3} \geqq 1 \iff a \leqq \frac{1}{2}$ であるから、積分区間および絶対値 $|x^2 + a|$ の符号変化（$x^2 = -a$）に着目して、$a$ の範囲を次の4つに場合分けする。

(i) $-2 \leqq a < -1$ のとき

$a \leqq \frac{1}{2}$ であるから、積分区間は $-1 \leqq x \leqq 1$ となる。この区間において $x^2 \leqq 1$ であり、$a < -1$ より $x^2 + a < 0$ となるため、$|x^2 + a| = -x^2 - a$ である。

$$ S(a) = \int_{-1}^1 \left\{ \left(-\frac{1}{2}x^2 + 2\right) - (-x^2 - a) \right\} dx $$

被積分関数は偶関数であるから、

$$ S(a) = 2 \int_0^1 \left( \frac{1}{2}x^2 + a + 2 \right) dx = 2 \left[ \frac{1}{6}x^3 + (a+2)x \right]_0^1 = 2a + \frac{13}{3} $$

この範囲において $S(a)$ は単調に増加する。

(ii) $-1 \leqq a < 0$ のとき

積分区間は $-1 \leqq x \leqq 1$ である。 $x^2 + a = 0$ となる $x$ は $x = \pm\sqrt{-a}$ であり、$0 < \sqrt{-a} \leqq 1$ を満たす。したがって、$0 \leqq x \leqq \sqrt{-a}$ では $|x^2 + a| = -x^2 - a$ であり、$\sqrt{-a} \leqq x \leqq 1$ では $|x^2 + a| = x^2 + a$ となる。対称性より $x \geqq 0$ の部分を2倍して計算する。

$$ S(a) = 2 \int_0^{\sqrt{-a}} \left\{ \left(-\frac{1}{2}x^2 + 2\right) - (-x^2 - a) \right\} dx + 2 \int_{\sqrt{-a}}^1 \left\{ \left(-\frac{1}{2}x^2 + 2\right) - (x^2 + a) \right\} dx $$

$$ = 2 \int_0^{\sqrt{-a}} \left( \frac{1}{2}x^2 + a + 2 \right) dx + 2 \int_{\sqrt{-a}}^1 \left( -\frac{3}{2}x^2 + 2 - a \right) dx $$

それぞれの定積分を計算する。前半部分は、

$$ \int_0^{\sqrt{-a}} \left( \frac{1}{2}x^2 + a + 2 \right) dx = \left[ \frac{1}{6}x^3 + (a+2)x \right]_0^{\sqrt{-a}} = \frac{1}{6}(-a\sqrt{-a}) + (a+2)\sqrt{-a} = \left(\frac{5}{6}a + 2\right)\sqrt{-a} $$

後半部分は、

$$ \int_{\sqrt{-a}}^1 \left( -\frac{3}{2}x^2 + 2 - a \right) dx = \left[ -\frac{1}{2}x^3 + (2-a)x \right]_{\sqrt{-a}}^1 $$

$$ = \left( \frac{3}{2} - a \right) - \left( -\frac{1}{2}(-a\sqrt{-a}) + (2-a)\sqrt{-a} \right) = \frac{3}{2} - a - \left(2 - \frac{1}{2}a\right)\sqrt{-a} $$

これらを足し合わせて2倍する。

$$ S(a) = 2 \left\{ \left(\frac{5}{6}a + 2\right)\sqrt{-a} + \frac{3}{2} - a - \left(2 - \frac{1}{2}a\right)\sqrt{-a} \right\} $$

$$ = 2 \left\{ \frac{3}{2} - a + \frac{4}{3}a\sqrt{-a} \right\} = -\frac{8}{3}(-a)^{\frac{3}{2}} - 2a + 3 $$

ここで $S(a)$ の増減を調べるため、$a$ で微分する。

$$ S'(a) = -\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2}(-a)^{\frac{1}{2}} \cdot (-1) - 2 = 4\sqrt{-a} - 2 $$

$S'(a) = 0$ とすると、$\sqrt{-a} = \frac{1}{2}$ より $a = -\frac{1}{4}$ となる。これは $-1 \leqq a < 0$ を満たす。 $a < -\frac{1}{4}$ のとき $S'(a) > 0$、$a > -\frac{1}{4}$ のとき $S'(a) < 0$ となるため、$S(a)$ は $a = -\frac{1}{4}$ で極大かつ最大となる。その最大値は、

$$ S\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{8}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}} - 2\left(-\frac{1}{4}\right) + 3 = -\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{2} + 3 = -\frac{1}{3} + \frac{7}{2} = \frac{19}{6} $$

(iii) $0 \leqq a \leqq \frac{1}{2}$ のとき

積分区間は $-1 \leqq x \leqq 1$ であり、この範囲で常に $x^2 + a \geqq 0$ となるため、$|x^2 + a| = x^2 + a$ である。

$$ S(a) = \int_{-1}^1 \left\{ \left(-\frac{1}{2}x^2 + 2\right) - (x^2 + a) \right\} dx = 2 \int_0^1 \left( -\frac{3}{2}x^2 + 2 - a \right) dx $$

$$ = 2 \left[ -\frac{1}{2}x^3 + (2-a)x \right]_0^1 = 2 \left( \frac{3}{2} - a \right) = -2a + 3 $$

この範囲において $S(a)$ は単調に減少する。

(iv) $\frac{1}{2} < a < 2$ のとき

$\frac{2(2-a)}{3} < 1$ となるため、積分区間は $x^2 \leqq \frac{2(2-a)}{3}$ となる。$\alpha = \sqrt{\frac{2(2-a)}{3}}$ とおくと、区間は $-\alpha \leqq x \leqq \alpha$ である。この区間では常に $x^2 + a > 0$ であるため、$|x^2 + a| = x^2 + a$ である。

$$ S(a) = \int_{-\alpha}^{\alpha} \left\{ \left(-\frac{1}{2}x^2 + 2\right) - (x^2 + a) \right\} dx = \int_{-\alpha}^{\alpha} \left( -\frac{3}{2}x^2 + 2 - a \right) dx $$

被積分関数は $x = \pm\alpha$ で $0$ になるため、公式を用いて計算できる。

$$ S(a) = -\frac{3}{2} \int_{-\alpha}^{\alpha} (x - \alpha)(x + \alpha) dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6} (\alpha - (-\alpha))^3 = \frac{1}{4} (2\alpha)^3 = 2\alpha^3 $$

$$ S(a) = 2 \left( \frac{2(2-a)}{3} \right)^{\frac{3}{2}} $$

$a$ が増加すると $2-a$ は減少するため、この範囲において $S(a)$ は単調に減少する。

(i)〜(iv)のまとめ

以上より、$S(a)$ は $-2 \leqq a \leqq -\frac{1}{4}$ で単調に増加し、$-\frac{1}{4} \leqq a < 2$ で単調に減少する連続関数であることがわかる。したがって、$S(a)$ は $a = -\frac{1}{4}$ のとき最大値をとる。

解説

連立不等式から囲まれる面積を立式する際、単に「上の式から下の式を引いて $-1$ から $1$ まで積分する」と短絡的に考えてしまうと罠に陥る問題である。$x$ の変域が $-1 \leqq x \leqq 1$ と指定されていても、放物線同士の上下関係が入れ替わる、あるいは交点が区間内に入り込むことで、$y$ が存在しなくなる（積分区間が制限される）場合があることに注意しなければならない。

$a$ の値による場合分けは、以下の2つの境界を考えることで自然に導出できる。 1つ目は、定義域を制限する条件 $x^2 \leqq \frac{2(2-a)}{3}$ が $x^2 \leqq 1$ を内包するかどうかの境界である $a = \frac{1}{2}$。 2つ目は、絶対値の中身 $x^2 + a$ の符号が変わる境界が区間 $0 \leqq x^2 \leqq 1$ の内部に存在するかどうかの境界である $a = 0$ および $a = -1$。これらを正確に捉え、計算量の多い (ii) の区間での微分を慎重に行うことが完答への鍵となる。