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数学2 定積分問題 51 解説

方針・初手

(1) 与えられた関数 $f_n(x)$ と $g_n(x)$ の定義式および漸化式から、$x$ の係数や定数項を比較して $a_n$ と $b_n$ の関係式を導きます。定積分 $\int_0^1 |f_n(t)| dt$ および $\int_0^1 g_n(t) dt$ は具体的な数値として計算できるため、順に $n=1, 2, 3$ と代入して値を求めていきます。

(2) (1) と同様に定積分を係数として扱い、$a$ と $b$ の連立方程式を立てます。このとき、$b = \int_0^1 |t - a| dt$ の絶対値を外すために、積分区間 $0 \le t \le 1$ に対する $a$ の値の範囲（$a \le 0$、$0 < a < 1$、$a \ge 1$）で場合分けを行うことがポイントです。

解法1

(1)

与えられた式より、1次関数と2次関数の係数を比較すると、以下の関係が成り立ちます。

$$b_n = \int_0^1 |f_n(t)| dt$$

$$a_{n+1} = \int_0^1 g_n(t) dt$$

まず、$f_1(x) = x - \frac{1}{2}$ であるから $a_1 = \frac{1}{2}$ であり、$b_1$ を求めます。

$$b_1 = \int_0^1 \left| t - \frac{1}{2} \right| dt$$

これは底辺と高さがともに $\frac{1}{2}$ である2つの直角三角形の面積の和に等しいため、

$$b_1 = 2 \times \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4}$$

よって、$g_1(x) = x^2 - \frac{1}{4}x$ となります。次に $a_2$ を求めます。

$$\begin{aligned} a_2 &= \int_0^1 g_1(t) dt \\ &= \int_0^1 \left( t^2 - \frac{1}{4}t \right) dt \\ &= \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{8}t^2 \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3} - \frac{1}{8} = \frac{5}{24} \end{aligned}$$

したがって、$f_2(x) = x - \frac{5}{24}$ となり $a_2 = \frac{5}{24}$ を得ます。このとき $0 \le \frac{5}{24} \le 1$ であるから、$b_2$ は次のように計算できます。

$$\begin{aligned} b_2 &= \int_0^1 \left| t - \frac{5}{24} \right| dt \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{5}{24} \right)^2 + \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{5}{24} \right)^2 \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{25}{576} + \frac{361}{576} \right) \\ &= \frac{386}{1152} = \frac{193}{576} \end{aligned}$$

よって、$g_2(x) = x^2 - \frac{193}{576}x$ となります。これを用いて $a_3$ を求めます。

$$\begin{aligned} a_3 &= \int_0^1 g_2(t) dt \\ &= \int_0^1 \left( t^2 - \frac{193}{576}t \right) dt \\ &= \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{193}{1152}t^2 \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3} - \frac{193}{1152} \\ &= \frac{384 - 193}{1152} = \frac{191}{1152} \end{aligned}$$

(2)

与えられた式より、係数を比較すると以下の2式が成り立ちます。

$$a = \int_0^1 g(t) dt \quad \cdots \text{①}$$

$$b = \int_0^1 |f(t)| dt \quad \cdots \text{②}$$

まず、①を計算します。

$$\begin{aligned} a &= \int_0^1 (t^2 - bt) dt \\ &= \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}bt^2 \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3} - \frac{1}{2}b \end{aligned}$$

これを $b$ について解くと、

$$b = \frac{2}{3} - 2a \quad \cdots \text{③}$$

次に、②すなわち $b = \int_0^1 |t - a| dt$ について、$a$ の値によって場合分けを行います。

(i) $a \le 0$ のとき

積分区間 $0 \le t \le 1$ において $t - a \ge 0$ となるため、

$$b = \int_0^1 (t - a) dt = \left[ \frac{1}{2}t^2 - at \right]_0^1 = \frac{1}{2} - a$$

これと③より、

$$\frac{2}{3} - 2a = \frac{1}{2} - a$$

$$a = \frac{1}{6}$$

しかし、これは $a \le 0$ を満たさないため不適です。

(ii) $0 < a < 1$ のとき

積分区間において正負が切り替わるため、

$$\begin{aligned} b &= \int_0^a (a - t) dt + \int_a^1 (t - a) dt \\ &= \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}(1 - a)^2 \\ &= a^2 - a + \frac{1}{2} \end{aligned}$$

これと③より、

$$a^2 - a + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} - 2a$$

$$6a^2 + 6a - 1 = 0$$

これを解くと $a = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{6}$ となります。 $3 < \sqrt{15} < 4$ より $0 < \frac{-3 + \sqrt{15}}{6} < 1$、$ \frac{-3 - \sqrt{15}}{6} < 0 $ であるため、$0 < a < 1$ を満たすのは

$$a = \frac{-3 + \sqrt{15}}{6}$$

のみです。このとき、③より

$$b = \frac{2}{3} - 2 \left( \frac{-3 + \sqrt{15}}{6} \right) = \frac{2}{3} - \frac{-3 + \sqrt{15}}{3} = \frac{5 - \sqrt{15}}{3}$$

(iii) $a \ge 1$ のとき

積分区間 $0 \le t \le 1$ において $t - a \le 0$ となるため、

$$b = \int_0^1 (a - t) dt = \left[ at - \frac{1}{2}t^2 \right]_0^1 = a - \frac{1}{2}$$

これと③より、

$$\frac{2}{3} - 2a = a - \frac{1}{2}$$

$$3a = \frac{7}{6} \implies a = \frac{7}{18}$$

しかし、これは $a \ge 1$ を満たさないため不適です。

以上 (i)〜(iii) より、求める $b$ の値は $b = \frac{5 - \sqrt{15}}{3}$ と定まります。

解説

定積分で表された関数を処理する典型的な問題です。積分区間が定数であるため、定積分全体をひとつの定数（$a$ や $b$）として置き換え、方程式を導く手法が鍵となります。

特に $\int_0^1 |t - a| dt$ のような絶対値を含む定積分は、数式だけで処理するよりも $y = |t - a|$ のグラフが描く「三角形の面積の和」と図形的に解釈することで、計算の負担を減らしミスを防ぐことができます。積分区間内における折れ曲がり点の位置によって場合分けが発生することに注意して、丁寧に議論を進めることが求められます。