京都大学 1997年 理系 第4問 解説

方針・初手

• （1） は2通りのアプローチが考えられます。1つ目は、関数 $y = \sin x$ のグラフが $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において上に凸であることを利用し、定積分（面積）と台形の面積を比較する図形的なアプローチです。2つ目は、定積分を計算して左辺と右辺の差を関数とおき、微分を用いて単調性を調べる代数的なアプローチです。
• （2） は、（1） で示した不等式を活用します。積分区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ を $\frac{\pi}{8}$ 刻みで分割し、$\alpha$ と $\beta$ に具体的な値を代入して足し合わせることで、求める和の形を作り出します。

解法1

(1)

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、曲線 $y = \sin x$ の第2次導関数は $y'' = -\sin x \leqq 0$ であるから、グラフは上に凸である。 したがって、区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において、曲線 $y = \sin x$ と $x$ 軸、および2直線 $x = \alpha, x = \beta$ で囲まれた面積 $\int_{\alpha}^{\beta} \sin x dx$ は、曲線上の2点 $(\alpha, \sin \alpha), (\beta, \sin \beta)$ を結ぶ線分と $x$ 軸、および $x = \alpha, x = \beta$ で囲まれた台形の面積よりも大きい。 すなわち、次の不等式が成り立つ。

$$ \int_{\alpha}^{\beta} \sin x dx > \frac{1}{2}(\beta - \alpha)(\sin \alpha + \sin \beta) $$

両辺を2倍すると、

$$ 2 \int_{\alpha}^{\beta} \sin x dx > (\beta - \alpha)(\sin \alpha + \sin \beta) $$

ここで、関数 $\sin x$ のグラフは直線 $x = \frac{\pi}{2}$ に関して対称であるから、区間 $[\pi-\beta, \pi-\alpha]$ における定積分は、区間 $[\alpha, \beta]$ における定積分と等しくなる。

$$ \int_{\pi-\beta}^{\pi-\alpha} \sin x dx = \int_{\alpha}^{\beta} \sin x dx $$

また、$\sin(\pi - \beta) = \sin \beta$ である。これらを上の不等式に代入すると、

$$ \int_{\alpha}^{\beta} \sin x dx + \int_{\pi-\beta}^{\pi-\alpha} \sin x dx > (\beta - \alpha)(\sin \alpha + \sin(\pi - \beta)) $$

となり、示された。

(2)

（1） で示した不等式において、$\sin(\pi - \beta) = \sin \beta$ を用いると、

$$ \int_{\alpha}^{\beta} \sin x dx + \int_{\pi-\beta}^{\pi-\alpha} \sin x dx > (\beta - \alpha)(\sin \alpha + \sin \beta) \quad \cdots (*) $$

である。この不等式 $(*)$ に、$\alpha = \frac{k-1}{8}\pi, \beta = \frac{k}{8}\pi$ を代入する。 $k = 1, 2, 3, 4$ のとき、$0 \leqq \alpha < \beta \leqq \frac{\pi}{2}$ を満たすため不等式 $(*)$ を適用でき、これらを辺々足し合わせると次のようになる。

$$ \sum_{k=1}^{4} \left( \int_{\frac{k-1}{8}\pi}^{\frac{k}{8}\pi} \sin x dx + \int_{\pi - \frac{k}{8}\pi}^{\pi - \frac{k-1}{8}\pi} \sin x dx \right) > \sum_{k=1}^{4} \frac{\pi}{8} \left( \sin \frac{k-1}{8}\pi + \sin \frac{k}{8}\pi \right) $$

左辺の積分について計算する。 第1項の総和は区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ の積分となり、第2項の総和は区間 $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ の積分となるため、繋ぎ合わせると区間 $[0, \pi]$ の積分になる。

$$ \text{（左辺）} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx = \int_{0}^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = 1 - (-1) = 2 $$

右辺の和について展開して整理する。

$$ \text{（右辺）} = \frac{\pi}{8} \left\{ \left( \sin 0 + \sin \frac{\pi}{8} \right) + \left( \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{2\pi}{8} \right) + \left( \sin \frac{2\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} \right) + \left( \sin \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{4\pi}{8} \right) \right\} $$

$$ \text{（右辺）} = \frac{\pi}{8} \left( 2\sin \frac{\pi}{8} + 2\sin \frac{2\pi}{8} + 2\sin \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{4\pi}{8} \right) $$

ここで、$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ の性質から、$\sin \frac{7\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8}$, $\sin \frac{6\pi}{8} = \sin \frac{2\pi}{8}$, $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin \frac{3\pi}{8}$ が成り立つ。これを用いると、求めたい和は次のように変形できる。

$$ \sum_{k=1}^{7} \sin \frac{k\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{2\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{4\pi}{8} + \sin \frac{5\pi}{8} + \sin \frac{6\pi}{8} + \sin \frac{7\pi}{8} $$

$$ = 2\sin \frac{\pi}{8} + 2\sin \frac{2\pi}{8} + 2\sin \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{4\pi}{8} $$

ゆえに、右辺の括弧の中身は $\sum_{k=1}^{7} \sin \frac{k\pi}{8}$ と完全に一致する。 したがって、両辺の比較から以下の不等式を得る。

$$ 2 > \frac{\pi}{8} \sum_{k=1}^{7} \sin \frac{k\pi}{8} $$

両辺に $\frac{8}{\pi}$ を掛けることで、

$$ \sum_{k=1}^{7} \sin \frac{k\pi}{8} < \frac{16}{\pi} $$

が示された。

解法2

(1)の別解（微分を用いる方法）

不等式の左辺の定積分を計算する。

$$ \int_{\alpha}^{\beta} \sin x dx = [-\cos x]_{\alpha}^{\beta} = \cos \alpha - \cos \beta $$

$$ \int_{\pi-\beta}^{\pi-\alpha} \sin x dx = [-\cos x]_{\pi-\beta}^{\pi-\alpha} = -\cos(\pi-\alpha) + \cos(\pi-\beta) $$

$\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ であるから、

$$ -\cos(\pi-\alpha) + \cos(\pi-\beta) = \cos \alpha - \cos \beta $$

よって、左辺 $= 2(\cos \alpha - \cos \beta)$ となる。 また、$\sin(\pi-\beta) = \sin \beta$ より、右辺 $= (\beta - \alpha)(\sin \alpha + \sin \beta)$ である。 したがって、示すべき不等式は次のように言い換えられる。

$$ 2(\cos \alpha - \cos \beta) > (\beta - \alpha)(\sin \alpha + \sin \beta) $$

ここで、$\alpha$ を固定した定数とみなし、$x \geqq \alpha$ における関数 $f(x)$ を次のように定義する。

$$ f(x) = 2(\cos \alpha - \cos x) - (x - \alpha)(\sin \alpha + \sin x) $$

$\alpha < x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において $f(x) > 0$ であることを示せばよい。 $f(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ f'(x) = 2\sin x - 1 \cdot (\sin \alpha + \sin x) - (x - \alpha)\cos x $$

$$ f'(x) = \sin x - \sin \alpha - (x - \alpha)\cos x $$

さらにもう一度 $x$ で微分すると、

$$ f''(x) = \cos x - \{ 1 \cdot \cos x + (x - \alpha)(-\sin x) \} $$

$$ f''(x) = (x - \alpha)\sin x $$

$0 \leqq \alpha < x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$x - \alpha > 0$ かつ $\sin x > 0$ であるから、$f''(x) > 0$ となる。 したがって、$f'(x)$ は $x \geqq \alpha$ において単調に増加する。 $f'(\alpha) = \sin \alpha - \sin \alpha - 0 = 0$ であるから、$x > \alpha$ において $f'(x) > f'(\alpha) = 0$ となる。 導関数 $f'(x)$ が正であることから、$f(x)$ も $x \geqq \alpha$ において単調に増加する。 $f(\alpha) = 2(\cos \alpha - \cos \alpha) - 0 = 0$ であるから、$x > \alpha$ において $f(x) > f(\alpha) = 0$ となる。 仮定より $\beta > \alpha$ であるから、$f(\beta) > 0$ が成り立ち、題意の不等式が示された。

解説

• （1） は、積分記号を含む不等式の証明です。愚直に積分を実行して微分で片付けることも可能ですが（解法2）、被積分関数のグラフが上に凸であることに気付けば、「曲線の下側の面積は、台形近似した面積よりも大きくなる」という視覚的にも明快な事実を用いて瞬殺することができます（解法1）。
• （2） のように、与えられた区間を細分化して不等式を足し合わせ、積分値と級数の和を関係づける手法は、区分求積法の原理にも通じる非常に重要な考え方です。シグマの和の形から「$\frac{\pi}{8}$ 刻みにすればよい」と見抜くことが鍵となります。

答え

(1)

略（解法1の証明を参照）

(2)

略（解法1の証明を参照）