数学2 相加相乗平均の関係 問題 6 解説

方針・初手

与えられた条件 $x > 0, y > 0$ から、相加平均と相乗平均の大小関係の利用が第一感として挙げられる。あるいは、条件式 $x+y=1$ を用いて1文字を消去し、関数の最大・最小問題に帰着させる手法も有効である。

解法1

(1)

$x > 0, y > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$\frac{x+y}{2} \geqq \sqrt{xy}$$

が成り立つ。条件 $x+y=1$ を代入すると、

$$\frac{1}{2} \geqq \sqrt{xy}$$

両辺ともに正であるから、両辺を2乗して

$$\frac{1}{4} \geqq xy$$

$x > 0, y > 0$ より $xy > 0$ であるから、両辺の逆数をとると不等号の向きが反転し、

$$\frac{1}{xy} \geqq 4$$

となる。等号が成立するのは、$x = y$ かつ $x+y=1$、すなわち $x = y = \frac{1}{2}$ のときである。 したがって、$\frac{1}{xy}$ の最小値は $4$ である。

(2)

与式を展開し、条件 $x+y=1$ を用いて整理する。

$$\begin{aligned} \left(1 + \frac{1}{x}\right)\left(1 + \frac{1}{y}\right) &= 1 + \frac{1}{y} + \frac{1}{x} + \frac{1}{xy} \\ &= 1 + \frac{x+y}{xy} + \frac{1}{xy} \\ &= 1 + \frac{1}{xy} + \frac{1}{xy} \\ &= 1 + \frac{2}{xy} \end{aligned}$$

(1) の結果より、$\frac{1}{xy} \geqq 4$ であり、等号成立条件は $x = y = \frac{1}{2}$ である。 これを用いると、

$$1 + \frac{2}{xy} \geqq 1 + 2 \cdot 4 = 9$$

となる。等号成立は $x = y = \frac{1}{2}$ のときであるから、最小値は $9$ である。

解法2

(1)

条件 $x+y=1$ より、$y = 1-x$ である。 $y > 0$ であるから、$1-x > 0$ すなわち $x < 1$ となる。 条件 $x > 0$ とあわせて、$x$ のとりうる値の範囲は $0 < x < 1$ である。

ここで、積 $xy$ を $x$ のみの式で表すと、

$$\begin{aligned} xy &= x(1-x) \\ &= -x^2 + x \\ &= -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \end{aligned}$$

となる。$0 < x < 1$ の範囲において、$xy$ は $x = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。 $xy > 0$ であるから、$xy$ が最大のとき $\frac{1}{xy}$ は最小となる。 したがって、$\frac{1}{xy}$ の最小値は $\frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ である。 （このとき $y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ となり、条件を満たす）

(2)

解法1と同様に与式を展開し、整理すると

$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)\left(1 + \frac{1}{y}\right) = 1 + \frac{2}{xy}$$

となる。 (1) より $xy$ の最大値は $\frac{1}{4}$ であり、このとき $\frac{2}{xy}$ は最小値 $\frac{2}{\frac{1}{4}} = 8$ をとる。 したがって、与式の最小値は $1 + 8 = 9$ である。

解説

2変数で和が一定のとき、積の最大値や、それを含む式の最小値を求める典型問題である。相加平均と相乗平均の大小関係を用いる方法（解法1）と、1文字消去によって2次関数の最大・最小に帰着させる方法（解法2）のどちらでも簡潔に解くことができる。

相加平均と相乗平均の大小関係を用いる場合は、「等号成立条件」を必ず確認すること。等号が成立する実数 $x, y$ が存在して初めて、その値が最小値（または最大値）であると断定できる。 1文字消去を用いる場合は、消去される文字（この場合は $y$）の条件 $y > 0$ から、残る文字（$x$）の変域が制限される点に注意して記述する必要がある。

答え

(1) 4

(2) 9