数学2 相加相乗平均の関係問題 10 解説

方針・初手

2倍角の公式を用いて $\cos 2\theta$ を $\sin \theta$（すなわち $t$）で表す。その後、与えられた分数式を $t$ の関数として表し、$t$ のとりうる値の範囲に注意しながら、相加平均と相乗平均の大小関係を用いて最小値を求める。

解法1

$\cos 2\theta$ の2倍角の公式より、

$$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$$

$\sin \theta = t$ であるから、

$$\cos 2\theta = 1 - 2t^2$$

となる。したがって、オにあてはまる数は $2$ である。

次に、$0 < \theta < \pi$ であるから、$t = \sin \theta$ のとりうる値の範囲は、

$$0 < t \leqq 1$$

である。

求める式を $t$ を用いて表すと、

$$\begin{aligned} \frac{\cos 2\theta}{\sin \theta} + 5\sin \theta &= \frac{1 - 2t^2}{t} + 5t \\ &= \frac{1}{t} - 2t + 5t \\ &= \frac{1}{t} + 3t \end{aligned}$$

となる。

ここで、$t > 0$ より $\frac{1}{t} > 0$ かつ $3t > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係を用いると、

$$\frac{1}{t} + 3t \geqq 2\sqrt{\frac{1}{t} \cdot 3t} = 2\sqrt{3}$$

が成り立つ。

等号が成立するのは、$\frac{1}{t} = 3t$ のときである。

$$3t^2 = 1$$

$t > 0$ より、

$$t = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

これは $0 < t \leqq 1$ を満たす。したがって、$t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、与えられた式は最小値 $2\sqrt{3}$ をとる。

解説

三角関数の相互関係と2倍角の公式を用いて式を簡単にする基本的な問題である。変数を置き換えた際は、常に新しい変数の定義域を確認することが重要である。本問では $0 < \theta < \pi$ から $0 < t \leqq 1$ となる。

最小値を求めるにあたり、$t > 0$ であり、式が $\frac{a}{t} + bt$ の形になっていることから、相加平均と相乗平均の大小関係の利用を思いつきたい。このとき、等号成立条件を満たす $t$ が定義域内に存在することの確認を忘れてはならない。もし等号成立条件を満たす $t$ が定義域外であれば、微分を用いて増減表を書くなどの別のアプローチが必要になる。