数学2 相加相乗平均の関係 問題 13 解説

方針・初手

分母に $(x+1)(x-1)=x^2-1$ があることに着目し、他の項にも $x^2-1$ の塊を作り出す。$x>1$ より $x^2-1>0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係を利用できる形へと式変形を行う。

解法1

与えられた式を $f(x)$ とおく。

$$f(x) = 4x^2 + \frac{1}{(x+1)(x-1)} = 4x^2 + \frac{1}{x^2 - 1}$$

$x > 1$ であるから $x^2 - 1 > 0$ である。相加平均と相乗平均の大小関係を用いるために、第1項を無理やり $x^2-1$ の形に変形し、つじつまを合わせる。

$$f(x) = 4(x^2 - 1) + \frac{1}{x^2 - 1} + 4$$

ここで、$4(x^2 - 1) > 0$ かつ $\frac{1}{x^2 - 1} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、以下の不等式が成り立つ。

$$4(x^2 - 1) + \frac{1}{x^2 - 1} \geqq 2\sqrt{4(x^2 - 1) \cdot \frac{1}{x^2 - 1}}$$

$$4(x^2 - 1) + \frac{1}{x^2 - 1} \geqq 2\sqrt{4} = 4$$

両辺に $4$ を加えて、

$$4(x^2 - 1) + \frac{1}{x^2 - 1} + 4 \geqq 4 + 4 = 8$$

したがって、$f(x) \geqq 8$ となる。等号が成立するのは、

$$4(x^2 - 1) = \frac{1}{x^2 - 1}$$

のときである。$x^2 - 1 > 0$ であることに注意してこれを解く。

$$(x^2 - 1)^2 = \frac{1}{4}$$

$$x^2 - 1 = \frac{1}{2}$$

$$x^2 = \frac{3}{2}$$

$x > 1$ より $x > 0$ であるから、

$$x = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

この $x$ の値は $x > 1$ （すなわち $\frac{\sqrt{6}}{2} > \frac{\sqrt{4}}{2} = 1$）を満たしている。 よって、$f(x)$ は $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき、最小値 $8$ をとる。

解説

分数式を含む関数の最大・最小問題である。微分（数学III）を用いて増減表を書き、最小値を求めることも可能であるが、計算が煩雑になる。 式をうまく変形して相加平均と相乗平均の大小関係に持ち込む解法が非常に有効である。とくに、「掛けて文字が消え、定数になる」ペアを作り出すのが定石である。今回のように $4x^2$ を $4(x^2-1)+4$ に書き換えるといった「帳尻合わせの定数」を加減する工夫は、頻出の手法であるため習熟しておきたい。

答え

(1) 8

(2) 6

(3) 2