数学2 相加相乗平均の関係問題 15 解説

方針・初手

与えられた関数は正の変数 $x$ についての和の形をしており、相加平均と相乗平均の大小関係の利用が考えられる。その際、各項を掛け合わせたときに $x$ が消去されて定数になるように、項を適切に分割することがポイントとなる。また、関数を $x$ で微分して増減を調べることでも求めることができる。

解法1

$x > 0$ であるから、$3x = x + x + x$ と分割し、4つの正の数 $x, x, x, \frac{1}{x^3}$ に対して相加平均と相乗平均の大小関係を用いると、

$$x + x + x + \frac{1}{x^3} \geqq 4 \sqrt[4]{x \cdot x \cdot x \cdot \frac{1}{x^3}}$$

が成り立つ。右辺を計算すると、

$$4 \sqrt[4]{x^3 \cdot \frac{1}{x^3}} = 4 \sqrt[4]{1} = 4$$

したがって、

$$3x + \frac{1}{x^3} \geqq 4$$

等号が成立するのは、$x = x = x = \frac{1}{x^3}$ のときである。これを解くと、

$$x = \frac{1}{x^3}$$

$$x^4 = 1$$

$x > 0$ であるから、

$$x = 1$$

このとき確かに等号が成立し、与式は最小値をとる。

解法2

$f(x) = 3x + \frac{1}{x^3} \ (x > 0)$ とおく。$f(x) = 3x + x^{-3}$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 3 - 3x^{-4} = 3 \left( 1 - \frac{1}{x^4} \right) = \frac{3(x^4 - 1)}{x^4}$$

$$f'(x) = \frac{3(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)}{x^4}$$

$x > 0$ の範囲において、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のときのみである。

$x > 0$ における $f(x)$ の増減は以下のようになる。

$0 < x < 1$ のとき、$x^4 - 1 < 0$ より $f'(x) < 0$ であるから、$f(x)$ は単調に減少する。 $x > 1$ のとき、$x^4 - 1 > 0$ より $f'(x) > 0$ であるから、$f(x)$ は単調に増加する。

よって、$f(x)$ は $x = 1$ において極小かつ最小となる。

そのときの最小値は、

$$f(1) = 3 \cdot 1 + \frac{1}{1^3} = 3 + 1 = 4$$

解説

相加平均と相乗平均の大小関係を用いる典型的な問題である。$3x + \frac{1}{x^3}$ に対してそのまま $a+b \geqq 2\sqrt{ab}$ を適用すると、右辺に $x$ が残ってしまい最小値が求まらない。掛け合わせたときに $x$ が約分されて定数となるように、次数を合わせて $3x$ を $x+x+x$ と $3$ つの項に分割する発想が必要である。

また、微分法を用いても計算量は多くなく、機械的な手順で確実に答えにたどり着くことができるため、相加・相乗平均の関係に気づかない場合の有力な解法となる。