数学2 相加相乗平均の関係問題 16 解説

方針・初手

関数の中に $x+1$ と $\frac{1}{x+1}$ の形が隠れていることに着目する。式を置き換えて展開・整理したのち、相加平均と相乗平均の大小関係を用いて最小値を求める。

解法1

与えられた関数 $f(x)$ を変形する。

$$f(x) = \left\{ 2(x+1) + \frac{27}{x+1} \right\} \left\{ (x+1) + \frac{6}{x+1} \right\}$$

ここで、$t = x+1$ とおく。$x > 0$ であるから、$t > 1$ である。 $f(x)$ を $t$ を用いて表すと、

$$\begin{aligned} f(x) &= \left( 2t + \frac{27}{t} \right) \left( t + \frac{6}{t} \right) \\ &= 2t^2 + 12 + 27 + \frac{162}{t^2} \\ &= 2t^2 + \frac{162}{t^2} + 39 \end{aligned}$$

$t > 1$ より $2t^2 > 0$ かつ $\frac{162}{t^2} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$2t^2 + \frac{162}{t^2} \geqq 2\sqrt{2t^2 \cdot \frac{162}{t^2}} = 2\sqrt{324} = 36$$

が成り立つ。両辺に $39$ を加えて、

$$f(x) \geqq 36 + 39 = 75$$

等号が成立するのは、$2t^2 = \frac{162}{t^2}$ のときである。これを整理すると $t^4 = 81$ となり、$t > 1$ より $t = 3$ である。このとき、$x = t - 1 = 2$ であり、これは条件 $x > 0$ を満たす。

したがって、$f(x)$ は $x = 2$ のとき最小値 $75$ をとる。題意より、$\alpha = 75$, $\beta = 2$ であるから、

$$\alpha + \beta = 75 + 2 = 77$$

となる。

解説

分数関数を含む式の最大・最小問題である。式の一部をひとまとまりの変数で置き換えることで、見通しを良くすることが重要である。本問では、$2x+2 = 2(x+1)$ と変形することで、$x+1$ という共通の形を見出すことができる。展開後に「(変数) + (定数) / (変数)」の形が現れたら、相加平均と相乗平均の大小関係の利用を第一に考えるとよい。その際、等号成立条件を満たす変数の値が定義域に含まれているかの確認を忘れないようにする。