数学2 相加相乗平均の関係問題 17 解説

方針・初手

分数関数の最大・最小を考える際、分子の次数が分母の次数以上である場合は、分子を分母で割り算して分子の次数を下げるのが定石である。本問でも、まずは分子の $4$ 次式を分母の $2$ 次式で割り、式を整理することから始める。

解法1

関数 $f(x)$ の分子を分母で割ると、

$$x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 34 = (x^2 - x + 3)(x^2 - x - 5) + 49$$

となる。したがって、与えられた関数は以下のように変形できる。

$$\begin{aligned} f(x) &= \frac{(x^2 - x + 3)(x^2 - x - 5) + 49}{x^2 - x + 3} \\ &= x^2 - x - 5 + \frac{49}{x^2 - x + 3} \end{aligned}$$

ここで、式の中に共通する塊である $x^2 - x + 3$ を作り出すために、さらに式を変形する。

$$f(x) = (x^2 - x + 3) + \frac{49}{x^2 - x + 3} - 8$$

$t = x^2 - x + 3$ とおく。$t$ のとり得る値の範囲を調べるために平方完成すると、

$$t = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{11}{4}$$

となる。$x \ge 0$ であるから、$t$ は $x = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{11}{4}$ をとる。よって、$t \ge \frac{11}{4}$ であり、特に $t > 0$ である。

このとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表した式を $g(t)$ とすると、

$$g(t) = t + \frac{49}{t} - 8$$

となる。$t > 0, \frac{49}{t} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$t + \frac{49}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{49}{t}} = 14$$

が成り立つ。両辺から $8$ を引くことで、

$$g(t) \ge 14 - 8 = 6$$

を得る。等号が成立するのは、

$$t = \frac{49}{t}$$

のときである。$t > 0$ より $t^2 = 49$ すなわち $t = 7$ となるが、これは $t \ge \frac{11}{4}$ を満たす。 $t = 7$ となるときの $x$ の値は、

$$x^2 - x + 3 = 7$$

$$x^2 - x - 4 = 0$$

を解いて、

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$$

となる。$x \ge 0$ であるから、$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ のときに等号が成立し、条件を満たす実数 $x$ が確かに存在する。

以上より、関数 $f(x)$ は $x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ のとき、最小値 $6$ をとる。

解説

分数関数の処理における基本である「分子の次数下げ」を行うことで、見通しが劇的に良くなる典型問題である。割り算を行った後に $x^2 - x - 5$ が現れるが、これを分母と同じ $x^2 - x + 3$ を用いて $(x^2 - x + 3) - 8$ と変形する工夫がポイントとなる。これにより $t + \frac{a}{t}$ の形が作れ、相加平均と相乗平均の大小関係が利用可能になる。相加平均と相乗平均の大小関係を用いる際は、「変数が正であること」「等号成立条件を満たす変数が元の定義域内に存在すること」の確認を忘れないように注意する必要がある。