数学2 二項定理 問題 5 解説

方針・初手

二項定理を用いて一般項を書き下し、$x$ の次数に注目する。展開式の一般項における $x$ の指数を $r$ を用いて表し、$x^2$ の係数を求める場合は指数が $2$ となるような $r$ を、定数項を求める場合は指数が $0$ となるような $r$ をそれぞれ求める。

解法1

二項定理より、$\left(2x - \frac{1}{2x}\right)^6$ の展開式の一般項は

$${}_6\mathrm{C}_r (2x)^{6-r} \left(-\frac{1}{2x}\right)^r \quad (0 \leqq r \leqq 6)$$

である。これを整理すると

$$\begin{aligned} {}_6\mathrm{C}_r 2^{6-r} x^{6-r} \left(-\frac{1}{2}\right)^r x^{-r} &= {}_6\mathrm{C}_r 2^{6-r} \left(- \frac{1}{2}\right)^r x^{6-2r} \\ &= {}_6\mathrm{C}_r (-1)^r 2^{6-r-r} x^{6-2r} \\ &= {}_6\mathrm{C}_r (-1)^r 2^{6-2r} x^{6-2r} \end{aligned}$$

となる。

$x^2$ の項は、$x$ の指数が $2$ になるときなので

$$6 - 2r = 2$$

これを解いて $r = 2$ となる。 したがって、$x^2$ の係数は、一般項の係数部分に $r = 2$ を代入して

$${}_6\mathrm{C}_2 (-1)^2 2^{6-4} = 15 \cdot 1 \cdot 2^2 = 60$$

定数項は、$x$ の指数が $0$ になるときなので

$$6 - 2r = 0$$

これを解いて $r = 3$ となる。 したがって、定数項は、一般項の係数部分に $r = 3$ を代入して

$${}_6\mathrm{C}_3 (-1)^3 2^{6-6} = 20 \cdot (-1) \cdot 2^0 = -20$$

解説

二項定理の基本問題である。一般項を立てた後、定数部分と文字部分（$x$ の累乗部分）に分けて整理することがポイントである。$(2x)$ や $\left(-\frac{1}{2x}\right)$ のように、項自体に係数が含まれている場合は、符号や指数の計算ミスに注意が必要である。特に負の符号 $(-1)^r$ を忘れやすいので、丁寧に計算を進めたい。

答え

$x^2$ の係数は $60$

定数項は $-20$