数学2 二項定理 問題 8 解説

方針・初手

二項定理を用いて展開式の一般項を立式し、$x^k$ の係数を $a_k$ とおく。 数列の最大値を求める問題に帰着されるため、隣接する係数の比 $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ と $1$ の大小関係を調べることで、数列 $\{a_k\}$ の増減を把握する。

解法1

$(x+5)^{80}$ の展開式における一般項は、二項定理より以下のように表せる。

$${}_{80}\mathrm{C}_k x^k 5^{80-k} \quad (k = 0, 1, 2, \dots, 80)$$

ここで、$x^k$ の係数を $a_k$ とおくと、

$$a_k = {}_{80}\mathrm{C}_k 5^{80-k} = \frac{80!}{k!(80-k)!} 5^{80-k}$$

となる。隣接する項の比 $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ を考えると、

$$\begin{aligned} \frac{a_{k+1}}{a_k} &= \frac{\frac{80!}{(k+1)!(79-k)!} 5^{79-k}}{\frac{80!}{k!(80-k)!} 5^{80-k}} \\ &= \frac{80!}{(k+1)!(79-k)!} 5^{79-k} \times \frac{k!(80-k)!}{80! 5^{80-k}} \\ &= \frac{80-k}{k+1} \times \frac{1}{5} \\ &= \frac{80-k}{5(k+1)} \end{aligned}$$

となる。

(i) $\frac{a_{k+1}}{a_k} > 1$ となるとき

$k \ge 0$ より $5(k+1) > 0$ であるから、両辺に $5(k+1)$ を掛けて、

$$80 - k > 5(k+1)$$

これを解くと、

$$6k < 75$$

$$k < 12.5$$

$k$ は整数であるから、$0 \le k \le 12$ のとき $\frac{a_{k+1}}{a_k} > 1$、すなわち $a_k < a_{k+1}$ が成り立つ。

(ii) $\frac{a_{k+1}}{a_k} < 1$ となるとき

同様にして、

$$80 - k < 5(k+1)$$

これを解くと、

$$k > 12.5$$

$k$ は整数であるから、$13 \le k \le 79$ のとき $\frac{a_{k+1}}{a_k} < 1$、すなわち $a_k > a_{k+1}$ が成り立つ。

(i)、(ii) より、係数 $a_k$ の大小関係は以下のようになる。

$$a_0 < a_1 < \dots < a_{12} < a_{13} > a_{14} > \dots > a_{80}$$

したがって、$a_k$ は $k=13$ のとき最大となる。

解説

二項定理の展開式における係数の最大値を求める典型問題である。係数 $a_k$ は離散的な値をとる数列であるため、関数のように微分法を用いて極値を求めることはできない。そのため、隣接する項の差 $a_{k+1} - a_k$ の符号を調べるか、比 $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ と $1$ の大小を比較する手法が定石となる。 本問のように階乗や累乗を含む式では、比をとることで多くの項が約分されて計算が容易になるため、比を考える方針が極めて有効である。

答え

13乗