数学2 二項定理 問題 10 解説

方針・初手

二項定理を用いて、$(1+ax)^5$ と $\left(x-\frac{2}{x}\right)^4$ のそれぞれの展開式の一般項を求める。それらの積から $x^4$ となる項を取り出し、係数の和を $a$ の方程式として立てる。

解法1

$(1+ax)^5$ の展開式における一般項は、

$${}_5\text{C}_k (ax)^k = {}_5\text{C}_k a^k x^k \quad (k=0, 1, 2, 3, 4, 5)$$

である。また、$\left(x-\frac{2}{x}\right)^4$ の展開式における一般項は、

$${}_4\text{C}_l x^{4-l} \left(-\frac{2}{x}\right)^l = {}_4\text{C}_l (-2)^l x^{4-2l} \quad (l=0, 1, 2, 3, 4)$$

である。

これら2つの一般項の積は、

$$\left( {}_5\text{C}_k a^k x^k \right) \cdot \left( {}_4\text{C}_l (-2)^l x^{4-2l} \right) = {}_5\text{C}_k {}_4\text{C}_l a^k (-2)^l x^{k-2l+4}$$

となる。

この項が $x^4$ の項となるための条件は、次数が $4$ となることであるから、

$$k - 2l + 4 = 4$$

すなわち、

$$k = 2l$$

である。

$0 \leqq k \leqq 5$、$0 \leqq l \leqq 4$ であるから、この条件を満たす整数の組 $(k, l)$ は、

$$(k, l) = (0, 0), (2, 1), (4, 2)$$

の3組である。

それぞれの組に対する $x^4$ の係数を計算する。

(i) $(k, l) = (0, 0)$ のとき

$${}_5\text{C}_0 \cdot {}_4\text{C}_0 \cdot a^0 \cdot (-2)^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$$

(ii) $(k, l) = (2, 1)$ のとき

$${}_5\text{C}_2 \cdot {}_4\text{C}_1 \cdot a^2 \cdot (-2)^1 = 10 \cdot 4 \cdot a^2 \cdot (-2) = -80a^2$$

(iii) $(k, l) = (4, 2)$ のとき

$${}_5\text{C}_4 \cdot {}_4\text{C}_2 \cdot a^4 \cdot (-2)^2 = 5 \cdot 6 \cdot a^4 \cdot 4 = 120a^4$$

したがって、$(1+ax)^5\left(x-\frac{2}{x}\right)^4$ の展開式における $x^4$ の係数は、これらの和をとって、

$$120a^4 - 80a^2 + 1$$

となる。

問題の条件より、この係数が $41$ であるから、

$$120a^4 - 80a^2 + 1 = 41$$

$$120a^4 - 80a^2 - 40 = 0$$

両辺を $40$ で割って、

$$3a^4 - 2a^2 - 1 = 0$$

左辺を因数分解すると、

$$(3a^2 + 1)(a^2 - 1) = 0$$

$a$ は実数であるから $a^2 \geqq 0$ であり、$3a^2 + 1 > 0$ である。

したがって、

$$a^2 - 1 = 0$$

$$a^2 = 1$$

これを解いて、

$$a = \pm 1$$

解説

二項定理を2つの因数それぞれに適用し、一般項の積から特定の次数をもつ項の係数を取り出す典型問題である。2つの変数の条件式から、可能な整数の組を過不足なく絞り込むことがポイントとなる。最後に得られた $a$ の方程式を解く際、$a$ が実数であるという条件を用いて $3a^2+1 \neq 0$ とし、実数解のみを適切に求めることも忘れないようにしたい。

答え

$a = \pm 1$