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数学2 コーシー・シュワルツの不等式問題 2 解説

方針・初手

(1) は与式を愚直に展開して整理し、共通因数でくくることで因数分解を行う。

(2) は (1) で得られた恒等式を利用する。実数の2乗が $0$ 以上であるという性質を用いて、不等式を証明する。いわゆるコーシー・シュワルツの不等式の証明である。

(3) は (2) で証明した不等式を利用する。与えられた条件式 $a+5b+7c=12$ と最大値を求めたい式 $\sqrt{a}+\sqrt{5b}+\sqrt{7c}$ の形を見比べ、不等式の文字 $p, q, r, x, y, z$ にどのような値を代入すればよいかを考える。

解法1

(1)

与式を展開して整理する。

$$\begin{aligned} &(px+qy+rz)^2+(py-qx)^2+(qz-ry)^2+(rx-pz)^2 \\ &= (p^2x^2+q^2y^2+r^2z^2+2pqxy+2qyrz+2rzpx) \\ &\quad + (p^2y^2-2pqxy+q^2x^2) \\ &\quad + (q^2z^2-2qrzy+r^2y^2) \\ &\quad + (r^2x^2-2rpzx+p^2z^2) \end{aligned}$$

各括弧の中を足し合わせると、$2pqxy, 2qyrz, 2rzpx$ の項が互いに打ち消し合う。

$$\begin{aligned} &= p^2x^2+q^2y^2+r^2z^2+p^2y^2+q^2x^2+q^2z^2+r^2y^2+r^2x^2+p^2z^2 \\ &= p^2(x^2+y^2+z^2)+q^2(y^2+x^2+z^2)+r^2(z^2+y^2+x^2) \\ &= (p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2) \end{aligned}$$

よって、因数分解した結果は $(p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2)$ となる。

(2)

(1) の結果より、次の等式が成り立つ。

$$(p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2) = (px+qy+rz)^2+(py-qx)^2+(qz-ry)^2+(rx-pz)^2$$

$(px+qy+rz)^2$ を左辺に移項する。

$$(p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2) - (px+qy+rz)^2 = (py-qx)^2+(qz-ry)^2+(rx-pz)^2$$

$p, q, r, x, y, z$ は実数であるから、$(py-qx)^2 \geqq 0, (qz-ry)^2 \geqq 0, (rx-pz)^2 \geqq 0$ である。したがって、右辺は $0$ 以上となる。

$$(p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2) - (px+qy+rz)^2 \geqq 0$$

これより、求める不等式が成り立つ。

$$(p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (px+qy+rz)^2$$

また、等号が成り立つのは右辺の各項がすべて $0$ になるときである。

$$py-qx=0 \quad \text{かつ} \quad qz-ry=0 \quad \text{かつ} \quad rx-pz=0$$

すなわち、$py=qx$ かつ $qz=ry$ かつ $rx=pz$ のときに等号が成り立つ。

(3)

(2) で証明した不等式において、$p=1, q=1, r=1$ とし、$x=\sqrt{a}, y=\sqrt{5b}, z=\sqrt{7c}$ とおく。 $a, b, c$ は正の実数であるから、$x, y, z$ は実数であり、(2) の不等式を適用できる。

$$(1^2+1^2+1^2) \{ (\sqrt{a})^2+(\sqrt{5b})^2+(\sqrt{7c})^2 \} \geqq (1 \cdot \sqrt{a}+1 \cdot \sqrt{5b}+1 \cdot \sqrt{7c})^2$$

式を整理する。

$$3(a+5b+7c) \geqq (\sqrt{a}+\sqrt{5b}+\sqrt{7c})^2$$

条件より $a+5b+7c=12$ であるから、これを代入する。

$$3 \times 12 \geqq (\sqrt{a}+\sqrt{5b}+\sqrt{7c})^2$$

$$36 \geqq (\sqrt{a}+\sqrt{5b}+\sqrt{7c})^2$$

$a, b, c$ は正の実数であるから $\sqrt{a}+\sqrt{5b}+\sqrt{7c} > 0$ である。したがって、次の不等式が得られる。

$$\sqrt{a}+\sqrt{5b}+\sqrt{7c} \leqq 6$$

次に、等号が成立して最大値 $6$ をとるような正の実数 $a, b, c$ が存在するかを確認する。等号が成り立つのは、(2) で求めた条件より、次が成り立つときである。

$$1 \cdot \sqrt{5b} = 1 \cdot \sqrt{a} \quad \text{かつ} \quad 1 \cdot \sqrt{7c} = 1 \cdot \sqrt{5b} \quad \text{かつ} \quad 1 \cdot \sqrt{a} = 1 \cdot \sqrt{7c}$$

すなわち、$\sqrt{a} = \sqrt{5b} = \sqrt{7c}$ のときである。各辺を $2$ 乗すると、$a=5b=7c$ を得る。これを $a+5b+7c=12$ に代入する。

$$a+a+a=12$$

$$3a=12$$

$$a=4$$

このとき、$5b=4$ より $b=\frac{4}{5}$、$7c=4$ より $c=\frac{4}{7}$ となる。これらはすべて正の実数であり、問題の条件を満たす。よって、最大値は $6$ である。

解説

本問はコーシー・シュワルツの不等式とその応用に関する典型的な誘導問題である。 (1) で恒等式を証明し、(2) でそれを用いて不等式を導く流れは非常によく見られる。 (3) では、不等式の文字に何を代入すれば、与えられた条件式と最大値を求めたい式が出現するかを見極める力が問われる。今回はすべての係数が均等になるように $p=q=r=1$ とおくのがポイントである。また、不等式で最大値を求める際は、等号成立条件を満たす変数の値が実際に存在すること（今回は $a, b, c$ が正の実数であること）を確認する手順を忘れてはならない。